凡狡兔三窟 , 青蛙亂跳...等問題...若次數20次以下, 用下列方式其實算蠻快的
參考看看

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2014-6-11 01:50 AM 編輯 ]

請教橢圓兄，填充 1. 中所用的式子

公式：a3(a−b)(a−c)+b3(b−a)(b−c)+c3(c−a)(c−b)=a+b+c

有無簡潔之證明 (會證是會證，但是證得不好看而且寫起來不順手)

令fx=x4−a−ba−ca4x−bx−c+b−ab−cb4x−ax−c+c−ac−bc4x−ax−b=0 
之四根為 a、b、c、d
  f0=−a4bca−ba−c+ab4cb−ab−c+abc4c−ac−b=abcda3a−ba−c+b3b−ab−c+c3c−ac−b=−d=a+b+c  

鋼琴老師好漂亮的證法~受教了

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-6-12 08:52 AM 發表
鋼琴老師好漂亮的證法~受教了

帥!鋼琴兄的神解~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:30 PM 編輯 ]

幫忙打字,節省論壇空間
Q：試證a3(a−b)(a−c)+b3(b−c)(b−a)+c3(c−a)(c−b)=a+b+c
pf：Lemma
a(a−b)(a−c)+b(b−c)(b−a)+c(c−a)(c−b)=0－－①

a2(a−b)(a−c)+b2(b−c)(b−a)+c2(c−a)(c−b)=1－－②

設所求為k－－③，令x=1(a−b)(a−c)，y=1(b−c)(b−a)，z=1(c−a)(c−b)－－④

可列出聯立方程組ax+by+cz=0a2x+b2y+c2z=1a3x+b3y+c3z=k
∴= aa2a3bb2b3cc2c3 =abc(a−b)(b−c)(c−a)

x=abc(a−b)(b−c)(c−a)1(a−b)(a−c)=−abc(b−c)－－⑤

又x= 01kbb2b3cc2c3 =bc(b−c)(b+c−k)－－⑥
比較⑤& ⑥　∴b+c−k=−a，k=a+b+c

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:40 PM 編輯 ]

請教一下， 鋼琴老師的妙解是否可作如下修改: (已知 a，b，c 皆相異)


f(x) = x³ - [a³(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c) + b³(x-a)(x-c)/(b-a)(b-c) + c³(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)] = 0 之三根為 a，b，c 。


[...] 內為滿足 f(a) = a³，f(b) = b³，f(c) = c³ 之二次函數。

考慮 f(x) = 0 之三根和，由根與係數關係，得:


a³/(a-b)(a-c) + b³/(b-a)(b-c) + c³/(c-a)(c-b) = a + b + c

之所以想這樣改，是覺得上面的思維與拉格朗日插值法有較緊密的聯繫，而原待證式在型態上亦與拉格朗日插值公式有相似處，或許比較容易聯想出來。

這樣簡捷很多，分子是四次的也可以這樣玩
a4a−ba−c+b4b−ab−c+c4c−ac−b=a2+b2+c2+ab+bc+ca 

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-12 03:58 PM 編輯 ]

好厲害，Ellipse 兄和鋼琴兄兩位當真神人也！

bugmens兄,不好意思麻煩您了~
有空再來學LATEX的語法
對了,在用電腦看時
怎有時候相鄰兩列會疊在一起?
有時字會有大有小?