1.
在\(\Delta ABC\)中，試求\(\displaystyle \frac{\sqrt{tan \frac{B}{2}tan \frac{C}{2}}}{cos \frac{A}{2}}+\frac{\sqrt{tan \frac{C}{2}tan \frac{A}{2}}}{cos \frac{B}{2}}+\frac{\sqrt{tan \frac{A}{2}tan \frac{B}{2}}}{cos \frac{C}{2}}\)的最大值為？
ANS:2

2.
\(P\)為\(\Delta ABC\)內部一點，且\(\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=15^{\circ}\)，求\(\displaystyle \frac{1}{sin^2A}+\frac{1}{sin^2B}+\frac{1}{sin^2C}=\)？
ANS:\(8+4\sqrt{3}\)

題目如附檔，請大家幫忙解答或給個hint，謝謝

114.6.26
文章合併到101屏東女中三招

第 9 & 13 題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2904

piano老師的觀察太敏銳了!!!

第9題，易知出來的東西根本詭異!!

能請教老師是怎麼看出來的嗎?? (三角恆等式多到數不完...

\(\begin{align}
  & A+B+C=\pi  \\
& \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& \text{=}\tan \frac{C}{2}\left( \tan \frac{B}{2}+\tan \frac{A}{2} \right)\text{+}\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& \text{=}\tan \frac{C}{2}\tan \left( \frac{B}{2}\text{+}\frac{A}{2} \right)\left( 1-\tan \frac{B}{2}\tan \frac{A}{2} \right)\text{+}\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& \text{=}\tan \frac{C}{2}\tan \left( \frac{\pi }{2}-\frac{C}{2} \right)\left( 1-\tan \frac{B}{2}\tan \frac{A}{2} \right)\text{+}\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& =1-\tan \frac{B}{2}\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& =1 \\
\end{align}\)


\(\begin{align}
  & x=\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2},y=\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2},z=\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& 1+\cos A=1+\frac{1-{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}}{1+{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}}=\frac{2}{1+{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}} \\
& \frac{1+\cos A}{2}=\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}}=\frac{1}{1+\frac{yz}{x}}=\frac{x}{x+yz} \\
&  \\
& \cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{x}{x+yz}} \\
\end{align}\)

其實我的意思是能一眼看出上面式子的功力真不簡單。

嗯，是啊，這必須超熟練公式才行。
看來我還要再更努力練一下三角函數才好。

滿足 (z_1-a)/(z_1+a) 為純虛數的點 z 為半徑為 |a| 的圓上之所有點
除了兩個純實數點外的集合

若令 z_1 的共軛複數與 z_2 之乘積為 c+id
則所求的三角形面積為 d 的絕對值之一半
故將題中之第二個方程式兩邊同乘 z_1 的共軛複數之平方
並利用 z_1 的絕對值為 a 平方這特性即可得 d

或原解答可修正為:
不失一般性(將三角型 Oz_1z_2 以 O 圓心旋轉若干角度)
我們可以假設 z_1=i 再利用第二個方程式可得 z_2 進一步即可得所求三角形面積