第八題，可以用柯西不等式，不過想法還是平行線的距離

\( \left(\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{16}\right)(9+16)\geq(x+y-3)^{2} \)

\( \Rightarrow-5\leq x+y-3\leq5 \)

所求= \( \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \)。

第5題
不好意思，我的想法是 C(10,4)-7,
其中的7種是 0123,1234,...,6789,
卻不知那裡想法錯誤

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尚有0124、0125、...均應扣除
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17. （4）
我看到一個寫法，令P(0,0,0),A(0,0,4),B(1,0,0),C(0,3,0),外心O'(1/2,3/2,t)
請問外心是如何得到的？

顯然P,B,C是直角三角形
外心是斜邊BC中點（1/2，3/2，0）
只剩z座標尚未確定
故可設作（1/2，3/2，t)

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引用:

原帖由 八神庵 於 2010-6-23 05:02 PM 發表
第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?

8. 求橢圓  (x-2)²/9 + (y+1)²/16 = 1 上諸點在直線 x - y + 10 = 0 上的正射影長。

1.公式法(14#)  2.參數法(11#)  3.柯西法(41#)
4. 伸縮法:

把橢圓中心移至原點，視其為一圓 (直徑 = 6) 延 y 軸伸縮 4/3 倍，而切線伸縮後仍是切線。

伸縮後: x + y = h → 伸縮前: x + (4y/3) = h

由平行線距離公式，所求 = 6*√[1+ (16/9)] / √2 = 5√2

14. 對於任何一個三位數 n，定義 f(n) 為 n 的三個數字和加上兩兩乘積和再加上三個數字的乘積。求使得 f(n) / n = 1 的三位數 n 共幾個 ?


令 a, b, c 依序表示 n 的百, 十, 個位數，依題意:

(a+1)*(b+1)*(c+1) = 100a + 10b + c +1

⇔ a*(b+1)*(c+1) + (b+1)*(c+1) = 100a + 10b + c +1

⇔ a*(b+1)*(c+1) + b*(c+1) + c +1 = 100a + 10b + c +1

⇒ b = c = 9，a = 1, 2, ..., 9 共 9 個