計算1
若\(g(n)\)表示正整數\(n\)的奇因數中最大者，例如：\(g(3)=3,g(14)=7\)。求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2^n}g(k)=g(1)+g(2)+g(3)+\ldots+g(2^n)=\)
[解答]
另解

想請教填充1，謝謝。

填充第 1 題
將12個大小寫的英文字母\(A,B,C,D,E,F,a,b,c,d,e,f\)打亂，兩兩任意配成6對，求大小寫同義(如：\(Aa\)為同義配對，\(AB\)、\(Ab\)不是同義配對)至少2對的方法數。
[解答]
六對同義：1 種
五對同義：0 種
四對同義，二組不同義：C(6，4) * 2 = 30 種
三對同義，三組不同義：C(6，3) * 8 = 160 種
二對同義，四組不同義：C(6，2) * 60 = 900 種

總共 1091 種

謝謝 thepiano 老師。
謝謝 czk0622 老師。

填充第 1 題
將12個大小寫的英文字母\(A,B,C,D,E,F,a,b,c,d,e,f\)打亂，兩兩任意配成6對，求大小寫同義(如：\(Aa\)為同義配對，\(AB\)、\(Ab\)不是同義配對)至少2對的方法數。
[解答]
反面作法(取捨原理)
任意分組-全不同義-恰1組同義\(=10395-6040-3264=1091\)
任意分組:\(\Pi^{6}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/6!=10395\)
全不同義:\(\displaystyle \Pi^{6}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/6!-C^{6}_{1}\Pi^{5}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/5!+C^{6}_{2}\Pi^{4}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/4!-C^{6}_{3}\Pi^{3}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/3!+C^{6}_{4}\Pi^{2}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/2!-C^{6}_{5}\Pi^{1}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/1!+C^{6}_{6}=6040\)
恰1組同義:\(C^{6}_{1}(\Pi^{5}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/5!-C^{5}_{1}\Pi^{4}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/4!+C^{5}_{2}\Pi^{3}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/3!-C^{5}_{3}\Pi^{2}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/2!+C^{5}_{4}\Pi^{1}_{k=1}{C^{2k}_{2}}/1!-C^{5}_{5})=6\times 544=3264\)

看著手稿還打錯，謝謝thepiano老師修正

鋼琴老師您好

可否問一下當兩組同義時  C(6,2)X60  ,60是怎麼得到的呢?

同樣的問題四組同義時   C(6,4)X2   , 2是怎麼得到的呢?
不知道這樣理解有錯嗎?   
A        B        C        D        E        F
a        b        c        d        f        e
最後兩組不同義的配對只能是E配f  ,F配e這一組(only這組??_).  不知道是哪作錯了?

ABCDEF
abcdef
C(6,4)—>Aa Bb Cc Dd
E  e固定 與F  f有2！ 排列

同理
C(6,2)—>Aa Bb
CDEF    cdef討論（可以樹狀圖畫一下蠻清楚的）
針對CD Cd CE Ce CF Cf討論
CD—>cd  cE  ce  cF  cf—>每種剩下2！排列
故為6*5*2=60

2不同=2亂排-0不同=4!/(2!2!2!)-1=2
3不同=3亂排-2不同-0不同=6!/(2!2!2!3!)-3*2--1=8
4不同=4亂排-3不同-2不同-0不同=8!/(2!2!2!2!4!)-4*8-6*2-1=60

老師應該是把
E---F
f----e     即為(Ef)(Fe)
視為一種錯排列的問題吧
但其實這題不是單純錯排喔
它也可以是
E----e
F----f    即為(EF)(ef)
亦為不同義
所以有2種，至於2種的算法就如上老師們的各種算法了
希望有解答到你的問題

小弟一開始也以為題意是一個大寫字母配一個小寫字母成一組，所以也用錯排做了一遍
後來看到題目的舉例才發現原來是任意配