謝謝!

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-5-1 09:36 PM 發表

應該還是要證一下~
Σ  {x=1 to  ∞ }   1/x
跟Σ  {x=1 to  ∞ }   1/x²
也很像阿,但後面收斂到π²/6

\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}{k} = 1 + \left( {\frac{1}{2}} \right)}  + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) + \frac{1}{9} +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ge 1 + \left( {\frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}} \right)\; + \frac{1}{{16}}\; +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 1 + \frac{1}{2}\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\; + \frac{1}{2}\; +  \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \;1 + \frac{1}{2}\; \times \infty  = \infty \;\;
\end{array}\]

想請教動點P那題...為什麼區域長這樣??要如何思考呢?感謝

謝謝Ellipse老師~

引用:

原帖由 idontnow90 於 2014-5-1 10:35 PM 發表
想請教動點P那題...為什麼區域長這樣??要如何思考呢?感謝

計算題第五題怪怪的喔，\(p\)點應該是在正方形ABCD的內部。

以邊長1為半徑。四個頂點為圓心。分別畫出四個圓來觀察

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-1 11:07 PM 編輯 ]

計算第七題
證明:
積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x-1/2)]dx
(令t=x-1/2)
=積分( 0 -->1/2) [f(t+1/2)/f(t)]dt
=積分( 0 -->1/2) [f(x+1/2)/f(x)]dx
因此
積分(0 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)]dx + 積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)]dx + 積分( 0 -->1/2) [f(x+1/2)/f(x)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)+f(x+1/2)/f(x)]dx
由算幾不等式
>=積分(0 -->1/2) [2]dx
=1，得證。

計算第八題:

證明在正整數的定義域以及對應域之下，f(x)必為x。
證明:
反覆運用規則 f [ f(x)+f(y) ] = x+y
f(x+y+z+u)
=f { f [(f(x)+f(y)] + f [(f(z)+f(u)] }
=f(x)+f(y)+f(z)+f(u)
因此
f(4)=f(1+1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=4×f(1) .......第一式
f(4+a+b)=f(3+1+a+b)=f(3)+f(1)+f(a)+f(b)  又  f(4+a+b)=f(2+2+a+b)=f(2)+f(2)+f(a)+f(b)
對照得 f(3)+f(1)=2×f(2) .......第二式
f(5+a+b)=f(3+2+a+b)=f(3)+f(2)+f(a)+f(b)  又  f(5+a+b)=f(4+1+a+b)=f(4)+f(1)+f(a)+f(b)=4×f(1)+f(1)+f(a)+f(b)   (由第一式)
對照得 f(3)+f(2)=5×f(1)  .......第三式
由二、三兩式得 f(2)=2×f(1)，f(3)=3×f(1)，
由數學歸納法可證得 f(n)=n×f(1) 對所有正整數n皆成立。 ......結論1
令 f(1)=t，
將x=1，y=1 代入f [ f(x)+f(y) ] = x+y 之中，
得f [ f(1)+f(1) ] = 1+1 ， f(2t)=2，
又由結論1，f(2t)=2t×f(1)=2t^2，
因此2t^2=2，得t^2=1，t=1。
故f(n)=n 對所有正整數n皆成立。

[ 本帖最後由 linteacher 於 2014-5-2 01:28 AM 編輯 ]

鋼琴老師，你的這個想法，我也有想到。靠著化簡過後，置換到題目要求的式子。在用三角函數的二倍角公式。我剛剛在腦力激盪，想了另外一個方法。從圖形下手。
最近都在忙著做教師甄選題目。就直接照相貼圖檔上來了。

我剛剛才看到橢圓老師已經貼過圖解的解法了。


\( \displaystyle \frac{z-5}{z}=\frac{3}{2}(cos84^o+isin84^o) \)
∴\( |\; z-5 |\;=|\; z |\;=3:2 \)
由此可知紅色線為角平分線
因\( |\; z-5 |\;=|\; z |\;=|\; (z-5)-(z-2) |\; : |\; (z-2)-z |\;=3:2 \)
∴\( \displaystyle \frac{z-2}{z} \)的主幅角\( \displaystyle \theta_1=\frac{84^o}{2}=42^o \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-10 12:31 PM 編輯 ]

第二題，這題的設計和100桃園高中相同。

100桃園高中：設 \( z \) 為複數，若 \( \frac{z-3}{z}=2(\cos80^{\circ}+i\sin80^{\circ}) \)，則複數 \( \frac{z-1}{z} \) 之主輻角為 __________。

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-29 11:20 AM 發表
填充 3
這題的類似題，去年竹北高中代理就考過了

此題相當於把 1~12 這 12 個自然數不重複填入一個二列六行(共 12 格)的表格中
且同一列中，右比左大；同一行中，上比下大，問有幾種填法？

轉化成一個 6 * 6 的表格，A 在左下角，B ...

thepiano 老師，你這個想法很棒。沒有做過的人，一定不可能馬上在考場想到這個方法。
技巧性太高了。所以考古題一定要熟練。

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 12:01 PM 編輯 ]