填12. 是 225  沒錯，算出來會剛好是等腰直角三角形，不知道您怎麼做的

提供一個暴力解，令 BC=aAC=b，則 (32AD)2=94(4a2+b2)(32BE)2=94(a2+4b2)。

令 G 為三角形之重心，則 cosAGB=5−4 (由直線法向量求夾角得)。

三角形 AGB 中，由餘弦定理得 302=94(4a2+b2)+94(a2+4b2)−294(4a2+b2)(a2+4b2)(5−4) 

再以 a2+b2=302 化簡，可解得 a=b=152 ，故得面積為 225

填充 6. #2 bugmens 老師的連結裡已有解法

填充 3. 向量的內心公式，及三點共線時線性組合係數和 =1，這兩件事，應該足以處理

填充 16. 預備知識：給定橢圓 a2x2+y2b2=1，其中 ab0

離心率 e=ca，準線 L:x=−ca2，焦點   F1(−c0) 滿足：對橢圓上任一點 P， ed(PL)=PF1 \) 皆成立

解. 配方化簡可得 cos+2+(2cos−2)2+(sin+2)2 ，

令 P(2cossin)A(2−2)L:x=−2F1(−10)F2(10) 。

注意 P 點在 橢圓 2x2+y2=1 上，且 L 為該橢圓之準線，離心率 =12 。

故 cos+2+(2cos−2)2+(sin+2)2=12PL+PA=PF1+PA 

PF1+PAPF1+PF2+F2A=22+5 ，且當 F2 在 PA 線段上時，等號成立。

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-4 12:04 AM 發表
填12. 是 225  沒錯，算出來會剛好是等腰直角三角形，不知道您怎麼做的

提供一個暴力解，令 BC=aAC=b，則 \( (\frac23\overline{AD})^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}), (\frac{2} ...

斜率暗藏玄機~這題下面解釋只差AC是垂直線,BC是水平線的證明(留給網友證)
參考如附件的圖~
考填充題可以大膽一點,先畫正常的圖(AC是垂直線,BC是水平線)
再根據題目給的資料
假設AD的斜率為m1,則m1=-2,
可知AC/CD=2/1 ,令AC=2t,CD=t (t>0) --------(1)
假設BE的斜率為m2,則m2=-(1/2)
可知EC/CB=1/2 ,令EC=k,CB=2k (k>0)--------(2)
由(1)&(2)及E,D分別為AC,CB中點知
AC=2EC ,2t=2(k) ,則t=k
所以AC=CB為等腰直角三角形(角C=90度)
剩下就簡單了~

註: 在所有的等腰直角三角形ABC(角C=90度)
     當AC是垂直線,BC是水平線
    則中線AD的斜率皆為 -2
     中線BE的斜率皆為-1/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-4 10:50 AM 編輯 ]

再整理一下填充12所用的性質
Lemma:
在坐標平面上,若三角形ABC的角C為直角
且中線AD的斜率為-2,中線BE的斜率為-1/2
<=>
AC=BC,且AC是垂直線,BC是水平線

請問13、15

填充 15. 以 a 各數分類相加得  5k=1C102k−1210−(2k−1)

其中看作 (x+2)10 展開中的 x 的奇數次方的係數和

故所求 = 2(1+2)10−(−1+2)10=2310−1

填 13. 注意 D(32310) 必為 AB 與平面 E 之交點。

考慮 DE 為平面 E 被 \triangle ABC 所截出線段，
E 的位置有兩種可能：在 \overline{CA} 上或在 \overline{CB} 上。

利用 \triangle=\frac{1}{2}ab\sin\theta ，去解 \triangle ADE=\frac{1}{2}\triangle ABC (若 E 在 \overline{CA} 上)
及 \triangle BDE=\frac{1}{2}\triangle BAC (若 E 在 \overline{CB} 上)，
可得 E 不在 \overline{CA} ，故僅有一解，且 E 在 \overline{CB} 上滿足 \overline{BE}=\frac{3}{4}\overline{BC}

\Rightarrow E(0,\frac{1}{4},\frac{3}{4}) ，代入平面方程式得 a=\frac{3}{2} 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-7 11:56 PM 編輯 ]

嗚~~我還是找不出來錯在哪?只有對到差3倍...我是模仿雙週一題算的.

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-4 12:04 AM 發表
填12. 是 225  沒錯，算出來會剛好是等腰直角三角形，不知道您怎麼做的

提供一個暴力解，令 \overline{BC} =a, \overline{AC} = b ，則 \( (\frac23\overline{AD})^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}), (\frac{2} ...

三個行列式的正負號不同，先取絕對值相加，和相加的絕對值不相等

12.
由重心向量關係式知 向量GA+向量GB+向量GC=0向量 得|GA|^2+|GB|^2+2向量GA‧向量GB=|GC|^2

又|GF|=5,且利用兩直線之法向量可知角AGB之餘弦值為-4/5，再由中線定理可知|GA|^2+|GB|^2=2(|GF|^2+|AF|^2)=500，

故向量GA‧向量GB=-200，因此|GA||GB|=250

再利用角AGB之正弦值與重心之三等份面積性質可知ABC面積=3x(1/2)x250x(3/5)=225

6.
已知sec+tanx=(22/7)，設secx-tanx=k，兩式相乘得(secx)^2-(tanx)^2=22k/7，故k=7/22

再解上述兩式之聯立可得secx和tanx

[ 本帖最後由 tzhau 於 2014-5-14 01:32 PM 編輯 ]

個人覺得填充第一題，題目不太嚴謹。
應該加上: "a,b,c 皆相異" 這個條件；否則，考慮 a=b=c=1 的情況，即會出毛病。
追本溯源，公式 a³/(a - b)(a - c) + b³/(b - a)(b - c) + c³/(c - a)(c - b) = a+b+c 要成立，必須a,b,c 皆相異。