引用:

原帖由 arend 於 2012-5-30 05:40 PM 發表


tsusy老師你好

在下資質遲鈍
你所述 ~~再由畢氏逆定理得 PAP=90 
這邊我還是看不懂

所謂'畢氏逆定理"我沒有學過

我有用geogebra畫過圖,還是看不出來

不過還是謝謝你
我再想想 ...

tsusy 兄 所講的 畢氏逆定理
就是滿足 a^2+b^2=c^2 的三角形三邊長 a,b,c 為直角三角形
(畢氏定理: 三邊長 為a,b,c的直角三角形中, 其中 c為斜邊 , 則a^2+b^2+c^2,  )

經過旋轉過後，可以得到 (P'A)^2+(PA)^2=(P'P)^2, 所以 角 P'AP =90 度

引用:

原帖由 brace 於 2012-5-30 12:36 AM 發表
請問一下計算題第3題如何解

thepiano 老師已經有解了，

大概就是算出一個高為4, 三邊長為6,8,10的三角柱

加上三個半徑為2, 高分別為6,8,10, 的半圓柱

再加上一個半徑為2的球

所求答案相加為 96+(176/3)pi

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-29 04:09 PM 發表
填充 10 仔細一做，根本是騙人的題目...

各位看看，或許是小弟做錯了

聯立 y=kx2, (x−a)2+(y−b)2=a2+b2 得 x(k2x3+(1−2kb)x−2a)=0

實係數四次方程式，已知有恰有三相異實根，必為 ...

這篇借小弟回鍋一下，今天算這一題繞了好久，都繞不出答案，一直想利用重根這件事情，卻沒有好好利用根與係數

看到 tsusy 兄的解法才恍然大悟，原來這時候的解是唯一的，真的是被騙了。

之後有重新利用根與係數關係，真的可以很輕易的把根得到，其實這個方法只是把 tsusy 兄 的寫法稍微回鍋一下而已，

（之前繞來繞去的時候一直得到重複的式子囧，代數的一些觀念跟想法還有待加強）

題目並沒有說圓和拋物線要相切，
你們自己加了這個條件，得到唯一解應該是可預期的。

題目的確是沒有說相切， # 17 小弟回覆就曾說或許是小弟錯了

也許是小弟的中文不好會錯意，但也不排除題目的敘述不好

來看看原題敘述「...有異於原點的另外兩個交點，此二交點落在直線 y=kx+b 上」

前半段有另外兩個交點，當然沒有恰有另外兩個交點的意思，應該可以指二個以上
當然也有可能小弟的中文理解錯誤

但後半的此二兩字，是指定的用法。當交點數是有三個的情況，此二兩個字根本無法指定，是不通的用法

如果真的要把敘述說好不誤會，要麼加上「恰有」二字，或是改成其交點有兩點落點落在直上  y=kx+b

不過既然題目要求最小值，推測後者才是出題者的原意，也就是不應該加上相切的條件。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-31 08:00 PM 編輯 ]

前天她問我的時候，一開始我也以為是要相切；但是又想一下，覺得不必。
後來實際去做的時候，就將直線y=kx+b代入拋物線和圓的時候，得到兩個方程式:
kx2−kx−b=0
(1+k2)x2−2ax−b2=0
題目的意思就只是有相同交點(異於原點)，所以上兩方程式一致，就有
b=k1+k22a=kb
可以得到答案。
但是我再用相切下去，跟你一樣得到
b=2k1+3k2
這樣答案不一樣。
最後求助GGB，才了解多了相切這個條件的話，就只有在k=1的時候。

至於題目的敘述，"有兩個"就是有兩個，如果只有兩個就是那兩個，如果有三個，就是其中兩個；
"此二"當然就是前一句所說的"兩個"，是指定好的。

寸絲老師!!
想請問一下 為什麼要從2012開根號考慮呢??
還有過程有點看不太懂...
能不能解釋一下
感謝你!!

計算 2. 因為書寫順序和思考的順序不同...所以才讓您覺得從 2012  寫起怪怪的吧


思考的時候，是從幾個例子開始，


如果 k=1, 取 n=2012
如果 k=2, 取 n=1006
如果 k=3, 取 n=670
...
發現基本上就是去找 n=[k2012]


剩下來的就是去實現這個發現，那什麼條件之下，可以保證商就是我們要的 n


其實就是餘要小於商，用 #19 中的記號就是 rm，但我們的除法只保證 0rk (原先漏一個等號)


所以才借助 2012  來使得 km ，如此來一來處理完 k=1 到 44 都有解


剩下的只好一個一個慢慢驗，只是一樣借助  rm 加快檢驗

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-1 08:54 AM 編輯 ]

填充第 7 題，換個方向旋轉也不錯。

填充第 7 題，另解一：

qq1.png (19.25 KB)

2012-6-1 08:49

如圖，將 PBC 以 B 為旋轉中心，逆時針旋轉 90，

則 PQB 為等腰直角三角形，得 PQ=52 ，

在 \triangle APQ 中，因為 \overline{PQ}^2=\overline{AP}^2+\overline{AQ}^2　　（　(5\sqrt{2})^2=7^2+1^2　），

因此 \triangle QAP=90^\circ，\displaystyle\sin\angle AQP=\frac{7}{5\sqrt{2}}, \cos\angle AQP=\frac{1}{5\sqrt{2}}

得 \displaystyle\cos\angle AQB=\cos\left(\angle AQP+45^\circ\right)=\cos\angle AQP\cos 45^\circ-\sin\angle AQP\sin45^\circ=\frac{-3}{5}

在 \triangle AQB 中，由餘弦定理，可得 \overline{AB}^2=1^2+5^2-2\cdot1\cdot5\cdot\cos\angle AQB=32，此即為正方形 ABCD 之面積。


（註：或是學 shiauy 老師用托勒密定理也不錯，哈！）


另解二：

qq2.png (14.53 KB)

2012-6-1 08:49

設正方形 ABCD 的邊長為 x，\angle PBC=\alpha,\angle PBA=\beta，

因為 \alpha 與 \beta 互餘，所以 \cos^2\alpha+\cos^2\beta=1

［說明：　\cos^2\alpha+\cos^2\beta=\cos^2\alpha+\cos^2\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 　］

在 \triangle PBA 中，由餘弦定理可得 \displaystyle\cos\alpha=\frac{5^2+x^2-7^2}{2\cdot5\cdot x}

在 \triangle PBC 中，由餘弦定理可得 \displaystyle\cos\beta=\frac{5^2+x^2-1^2}{2\cdot5\cdot x}

因此，

\displaystyle\left(\frac{5^2+x^2-7^2}{2\cdot5\cdot x}\right)+\left(\frac{5^2+x^2-1^2}{2\cdot5\cdot x}\right)=1

解「x^2」的一元二次方程式，即可得 x^2=32，此即為正方形 ABCD 之面積。

（註：「x^2」解出的另一根為 18 ，但如此會使得 \cos\alpha<0，但顯然 \alpha 為銳角，故不合。）



註：解完才發現 wdemhueebhee 老師已經回過上面的作法了，囧rz.....

想請問填充4