可見
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定理1：卡特蘭數的組合證明

另一篇 97家齊女中的，也可用此公式解之

11.
擲一公正硬幣;若正面，則甲得1分，乙扣1分;若反面，則甲扣1分，乙得1分。擲10後，在甲總分6分的情形下，求甲分數一直領先乙分數的機率　　　。
[解答]
C(9，2) 是 A 走到 B 的捷徑走法數，由於不能碰到紅線，故要扣掉經過 D 或 E 的方法數

由於對稱，上面要扣掉的方法數相當於 C 走到 B 的捷徑走法數 C(9，1)

感謝，可能沒徹底了解一路領先問題，看會了這題，無法套用到其他類似題。

請教  97家齊女中
袋中有4紅球，5白球，今自袋中每次取出一球，取出不放回，取完為止，則取球過程中，紅球個數不多於白球各書的機率為？

這題如何套用？

紅球個數不多於白球，代表白球個數不少於紅球，可碰到藍線，但不能碰到紅線

看圖體會一下吧

好像...看懂了一些...
從虛線左下角開始，向右一格後，剩下五個"─"、四個"│"，走法有 ：9！/ 5！*4！ 種
一樣扣除會碰到紅色的部分(相當於上半6X3方格走法)，

所以，算式：
C(9,4)-C(9,3)  / C(9,4)，這樣理解算正確？

正確

令設\(C(a,b)\)在所求直線\(L\)上，\(\vec{AC}=(a-4,b-8),\vec{AO}=(-4,-8),\vec{AB}=(4,4)\)
則由\(\displaystyle \vec{AC}\cdot \vec{AO}=|\;\vec{AC}|\; |\;\vec{AO}|\;cos \theta \Rightarrow cos\theta=\frac{-4a-8b+80}{\sqrt{(a-4)^2+(b-8)^2}\sqrt{80}}\ldots (1)\)
再由\(\displaystyle \vec{AC}\cdot \vec{AB}=|\;\vec{AC}|\; |\;\vec{AB}|\;cos \theta \Rightarrow cos\theta=\frac{4a+4b-48}{\sqrt{(a-4)^2+(b-8)^2}\sqrt{32}}\ldots (2)\)
\(\displaystyle By(1)(2)\Rightarrow (\sqrt{5}+\sqrt{2})a+(\sqrt{5}+2\sqrt{2})b=20\sqrt{2}+12\sqrt{5}\)，當\(\displaystyle a=12\Rightarrow b=\frac{32-8\sqrt{10}}{3}\)
考慮二點\(\displaystyle A(4,8),C(12,\frac{32-8\sqrt{10}}{3})\Rightarrow m=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\)

板上老師好,請問第7題答案算出來總是差個負號
不知道是哪一步做錯了  過程如附件

7.
從原點出發的一道光線，射在鏡面(視為一直線)上一點\(A(4,8)\)且反射到點\(B(8,12)\)，求鏡面的斜率　　　。
[解答]
先畫圖可知斜率為正，否則無法反射到題目要求的點
令鏡面斜率為\(m\)
有 \(\displaystyle \frac{2-m}{1+2m}=\frac{m-1}{1+m}\)
解得\(\displaystyle m=\frac{1\pm \sqrt{10}}{3}\)
取\(\displaystyle m=\frac{1+ \sqrt{10}}{3}\)

謝謝satsuki931000老師  想通了

板上老師好   請教老師

y=1/(tan^2x+tanx+1)  因為y有解  tanx有實數解  D大於等於0,得到 0<= y<= (4/3)

但是接下來,log(9,y)  就矇了  因為y>0  得0<y<=(4/3)   那這樣的話,請教老師a ,b是怎模算出來的