回復 34# Christina 的帖子
第 12 題
由終止處找遞迴:
En = 恰第 n 次結束的期望值 + [ 第 (n-1) 次之前(含)結束的期望值 ]
= n*P(投擲 n-1 次均無連續兩次同點) + [ En₋₁ - 投擲 n-1 次時因為已擲了 n-1 次而停止的期望值 ]
= n*(5/6)ⁿ⁻² + En₋₁ - (n-1)*(5/6)ⁿ⁻²
= En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²
----------------------------
以上是當時發文時的原始想法。但鑒於最後的遞迴式型態簡單，故考慮找出更簡明的想法，如下:
En₋₁ 表示: "投擲一骰子，若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n-1 次即停止" 的投擲次數期望值。
En 表示: "投擲一骰子，若連續兩次擲出相同的點數或投擲滿 n 次即停止" 的投擲次數期望值。
兩者差在哪?
在擲 n-1 次時，若該停止了，則基本上在擲 n 次時，也該停止了。只有一個例外:
" 投擲 n-1 次均無連續兩次同點時，前者必須終止，後者須再多擲 1 次(無論結果也須終止) "。這個機率是 (5/6)ⁿ⁻²。
故兩者差 1*(5/6)ⁿ⁻²，即 En = En₋₁ + (5/6)ⁿ⁻²
