第5題：

原式整理得 \(\log_{12}(\sqrt{x}+\sqrt[4]{x})=\log_{3}\sqrt[4]{x}\)

設 \(k=\log_{3}\sqrt[4]{x}\)    \(\Rightarrow \sqrt[4]{x}=3^k\) 且 \(\sqrt{x}=9^k\)

原式變成 \(\log_{12}(9^k+3^k)=k\)    \(\Rightarrow 9^k+3^k=12^k\)

\(\displaystyle \Rightarrow \Big(\frac{9}{12}\Big)^k+\Big(\frac{3}{12}\Big)^k=1\)    \(\Rightarrow k=1\)    \(\Rightarrow x=81\)

類似題可參考101松商 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1425&page=2#pid6736

證明2：

剛剛才想到可以利用方向餘弦的概念來證明！

\(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\) 表示 \((\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\) 形成一組方向餘弦

故可設 \(\displaystyle (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\Big(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\Big)\)  (三個角度皆銳角，故此地 \(x,y,z>0\))

\(\displaystyle \Rightarrow \tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+x^2}}{y}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)

                                        \(\displaystyle \geq \frac{\sqrt{2yz}}{x}+\frac{\sqrt{2zx}}{y}+\frac{\sqrt{2xy}}{z}\geq \sqrt{2}\times 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=3\sqrt{2}\)

兩個不等式都是由算幾不等式得到！

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2014-4-29 08:51 AM 編輯 ]

各種排列出現的機率不相等，我們用縮小數字比較方便指出不相等之處

假設 6 支籤，2支有獎，4支沒獎，甲乙丙依序各 2 支籤，但甲、乙只要抽中獎之後，(如果還有另一支沒抽)另一支就強制為不中獎的籤。
就是這個設定，讓甲的第1, 2 支在排列中失去相同的地位了，使得第一支籤比第二支容易中獎

我們看看機率，甲中獎情形有：(1) 1中2不中，機率為 \( \frac13 \) (2) 1不中2中，機率為 \( \frac46 \times \frac25 = \frac4{15}\)

更直接一點來看兩種排法 oxoxxx 和 xooxxx (o表示中獎)，各別的機率為 \( \frac26 \times 1 \times \frac14 \) 和 \( \frac46 \times \frac25 \times \frac14 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-7 11:46 PM 編輯 ]

填充8. 97 台中二中曾考過類似題，看完 Elllipse 兄的神解之後，不妨做看看

97 台中二中計算10. 若 \( |Z| = 1 \) 且滿足 \( Z^{28} - Z^8 -1 =0 \) 的複數共有 \( n \) 個，分別為 \( z_k = \cos \theta_k + i \sin \theta_k \)，其中 \( 0^\circ \leq \theta_1 < \theta_2 < \theta_3 < \ldots < \theta_n < 360^\circ \)，
則 (1) \( n = ? \)   (2) 求 \( \theta_1 + \theta_3 + \theta_5 + \ldots +\theta_{n-1} \)

答. (1) 8  (2) \( \frac{10}{3}\pi \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-29 12:23 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-4-29 12:21 PM 發表
填充8. 97 台中二中曾考過類似題，看完 Elllipse 兄的神解之後，不妨做看看

97 台中二中計算10. 若 \( |Z| = 1 \) 且滿足 \( Z^{28} - Z^8 -1 =0 \) 的複數共有 \( n \) 個，分別為 \( z_k = \cos \theta_k + i \sin \the ...

請問是否解出來的z還要帶回原來題目驗證? 因為97台中一中的還需要帶回原來的方程式去驗算是否滿足方程式?謝謝!

請問填充第7題，小弟的做法不知道可以嗎？有更好的做法嗎？

1.
\( \cases{\displaystyle a_n+a_{n+1}=c_n \cr a_n a_{n+1}=\frac{1}{5^n}} \)
2.
\( a_1=2 \)，\( \displaystyle a_2=\frac{1}{10} \)，\( \displaystyle a_3=\frac{2}{5} \)，\( \displaystyle a_4=\frac{1}{50} \)，…
奇數項公比\( \displaystyle =\frac{1}{5} \)，偶數項公比\( \displaystyle =\frac{1}{5} \)
3.
\( \displaystyle S_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}c_k=\sum_{k=1}^{2n}(a_k+a_{k+1})=\sum_{k=1}^{2n}a_k+\sum_{k=1}^{2n}a_{k+1} \)
其中\( \displaystyle \sum_{k=1}^{2n}a_k=\frac{2\left[ 1-(\frac{1}{5})^n \right]}{1-\frac{1}{5}}+\frac{\frac{1}{10}\left[ 1-(\frac{1}{5})^n \right]}{1-\frac{1}{5}} \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{2n}a_{k+1}=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{2n-1}-a_1=\frac{2 \left[ 1-\left( \frac{1}{5} \right)^{n+1} \right]}{1-\frac{1}{5}}+\frac{\frac{1}{10}\left[ 1-\left( \frac{1}{5} \right)^{n} \right]}{1-\frac{1}{5}}-2 \)

∴\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n}=\frac{5}{2}+\frac{1}{8}+\frac{5}{2}+\frac{1}{8}-2=\frac{13}{4} \)

想請教填充3 &6&16題

引用:

原帖由 sorze 於 2014-4-28 10:41 PM 發表
第9題
甲乙丙中獎機率皆為2/3 未中獎1/3
三種情形 甲 乙 丙
               O  X  O
               X  O  O
               X  X  O
所求=[(2/3)(1/3)(2/3)] / [(2/3)(1/3)(2/3)+(1/3)(2/3)(2/3)+(1/3)(1/3)(2/3)] ...

請問老師
甲乙丙中獎機率 為什麼 皆為2/3 ?
謝謝

引用:

原帖由 panda.xiong 於 2014-5-1 08:34 AM 發表
請問填充第4題，小弟的做法不知道可以嗎？有更好的做法嗎？

後半段算 2(a1+a2+a3+a4+................) -a1
就可以了~

想問有人有算12題嗎?我怎麼模仿算出的是75@@。

引用:

原帖由 bugmens 於 2014-4-26 01:26 PM 發表
6.
若\( \displaystyle secx+tanx=\frac{22}{7} \)，則\( cscx+cotx \)之值為？

Suppose that \( \displaystyle secx+tanx=\frac{22}{7} \) and that \( \displaystyle cscx+cotx=\frac{m}{n} \), where \( \displaysty ...

因為這想法是錯的~
寸絲老師已經在32樓回覆了