想請教第11題
謝謝

x=1 應該不行吧~~
帶入分母為0!!

tsusy  老師   打擾您了

想詢問填充四   這個想法是怎麼出現的??


類題：2.  高斯符號這一題 (101文華高中)
              我有看了您的筆記   是取log討論   但這想法是怎麼切入
             表格內容怎麼去計算出來的?    不得其門

              勞煩老師能說明   謝謝您了

版大 bugmens 已答 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317

所以，我來說說其它事

其實這兩題：填4 和類題101文華，不用這樣的技巧也是可以做，

只是變成去數 i=1,2,3,... 各有幾個，再相乘相加，而幾個的數量，則是某兩個值相減，

最後，求和的時候，要把 i 跟其數量相乘，sum 起來

我單純是因為不想做上面紅字的減法、相乘，所以才用這樣的方法

至於聯想的起點是期望值 \( E(X) = \sum p_i x_i \) 或  \( \int f(x)x dx \)，當 \( X \) 取值為非負(非負整數) 時

式子可變形為 \( E(X) = \sum\limits_{n=1}^\infty P(X\geq n ) \) 或 \( E(X) = \int_{0}^\infty P(X>x) dx\)

感謝bugmens老師的耐心回覆
也謝謝tsusy老師的提示XD

引用:

原帖由 老王 於 2013-4-17 11:02 PM 發表
99年台中區複賽二第三題
我是分情況討論

想請教解法中的第10.11行的地方..為什麼都可以直接平方?題目並沒有對a,b有所大小限制阿??
(雖然說事後算出答案後..知道這兩處..直接平方不會出問題...)
還請賜教...謝謝~

銳角三角形\(\Delta ABC\)中，\(D\)、\(E\)分別在\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)上。過\(D\)、\(E\)分別作\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)之垂線，交於\(\Delta ABC\)內部一點\(P\)。
試證：\(\overline{AP}\cdot(\overline{BC}-\overline{DE})\ge \overline{BD}\cdot \overline{AE}+\overline{CE}\cdot \overline{AD}\)。
[解答]
前幾日(12.04)的帖子，似乎因主機異常而消失了，再重回一次

猜測修正題目的不等式為 \( \overline{AP}(\overline{BC}-\overline{DE})\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD} \)，證明如下

注意 \( \overline{AP}(\overline{BC}-\overline{DE})\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD}\Leftrightarrow\overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD}+\overline{AP}\cdot\overline{DE} \)

而 \( ADPE\) 為圓內接四邊形，由托勒密定理有 \( \overline{AP}\cdot\overline{DE}=\overline{AD}\cdot\overline{PE}+\overline{AE}\cdot\overline{PD} \)。

故原不等式等價於 \( \overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD} \)。

令 \(Q\) 為 \(P\) 對 \(\angle BAC\) 之分角線之對稱點，\(D'\), \(E'\) 分別為 \(Q\) 對 \(\overleftrightarrow{AB}\),\(\overleftrightarrow{AC}\) 之投影點，則有 \(\overline{AQ}=\overline{AP}\),\(\overline{QD'}=\overline{PE},\overline{QE'}=\overline{PD}\)。

四邊形 \(ABQC\) 之面積 \(=\frac{1}{2}\left(\overline{AB}\cdot\overline{QD'}+\overline{AC}\cdot\overline{QE'}\right)=\frac{1}{2}\left(\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD}\right)\)。

亦可寫為 \(\triangle AQB+\triangle AQC=\frac{1}{2}\overline{AQ}\cdot\overline{BC}\sin\theta\)，

其中 \(\theta\) 為 \(\vec{AQ}\) 和 \(\vec{BC}\) 的夾角。又 \(\sin\theta<1\) 且 \(\overline{AQ}=\overline{AP}\)，

因此\(\overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD}\)，又此不等式與欲證之命題等價，故得證。

注意以上證明中，並沒有用到銳角之條件，及點 \(P\) 在三角形內部。銳角之條件雖保證點 \(P\) 在三角形內部，但點 \(Q\) 仍可以在三角形外，而且鈍角時，即使 \( P,Q \) 分在三角形外，結論及證明亦正確。

我也還沒參透為什麼可以直接平方 (或許是要分Case討論)，於是這麼解：

設\(g(y)=y^2+ay+(b-2)\)，20#  老王老師解到

\(g(y)=0\)有實根且至少一根絕對值\(\geq2\)

反過來想就是不能兩根都落在\((-2,2)\)，因此\(a,b\)須滿足\(D=a^2-4(b-2)\geq0\)

且\((a,b)\)不能落在  \(-2<-\frac{a}{2}<2\)  \(\Rightarrow -4<a<4\)
                                 \(g(-2)>0\) \(\Rightarrow 2a-b<2\)
                                   \(g(2)>0\) \(\Rightarrow 2a+b>-2\) 這三式以及\(D\geq0\)同時成立之區域

以上範圍作圖，可知\(\min(a^2+b^2)=d^2(O,L)=\frac{4}{5}\)，其中\(L\)為直線\(2a-b=2\)或\(2a+b=-2\)

想請教 12題 的第一步 為什麼可以這樣做~ QAQ

指數函數的積分