計算 1. 可以用正弦定理去表示 BC 和 CD 的長度，

分別為 2sinx2siny 其中 x+y=60

再利用和差化積可得 sinx+siny=2sin2x+ycos2x−y

其中 sin2x+y=21cos2x−y1

故得 x=y=30 時 sinx+siny 有最大值

故得 BC=CD=1 時有最大周長

這個問題的一般情形就是在弧AC上取一點B，使得AB+BC最大。
寸絲老師提供的方法非常好，請大家在考場要記得這樣寫。

以下有興趣的再看，這也是我要處理多邊形的等周定理時要用到的一部分。
證明B在中點為最大
另取非中點之點P，不妨假設AP>CP
連接AP和CP，過B作AP的垂線，令垂足為H，
由阿基米德折弦定理得到，H是折弦APC的中點，也就是 2AH=AP+CP
由於AB>AH
故 AB+BC>AP+CP

[ 本帖最後由 老王 於 2013-4-21 08:42 PM 編輯 ]

謝謝寸絲老師的解答
我寫出來了

這是我跟興傑老師問到的解答
提供另一種想法

[ 本帖最後由 王保丹 於 2013-4-21 09:08 PM 編輯 ]

填 5. 誠如 weiye 老師在 29# 連結中所提到的，該式對於變數是反對稱 (交換，值變號)

所以讓在下做一下傻事，把它平方，就會變成常數

(−)2(−)2(−)2=42−24−233+232−6222 

以上的記號上   裡是跑對稱項，如 42=42+42+42+42+42+42  有六項，33  則有三項

接下來先計算 n+n+n，再利用這些值去表示各項

=1
++=0
2+2+2=(++)2−2(++)=2
3+3+3=+++3=3
4+4+4=2+2+2+++=2
5+5+5=3+3+3+2+2+2=5
6+6+6=4+4+4+3+3+3=5

42=6+4242=−1 

4=3=3 

(3+3+3)2=6+23333=2 

32=2  ，

而 2=3+22=−3 

綜合以上有 42−24−233+232−6222=−1−6−4−6−6=−23 

因此所求 =23i 

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-21 10:43 PM 編輯 ]

為向老王老師致敬，再補一個證明，還有考試的時候不要這樣做

如下圖：B, D 為 AC 優弧和劣弧上的中點，E 為 AC 劣優上之點且不為 A,D,C
試證 AD+DCAE+EC

Ptomley.png (17.65 KB)

2013-4-21 23:01

證. 圓內接四邊形中ABCD，由托勒密定理有 ACBD=ADBC+DCAB
(注意 BD 為圓之直行，由面積亦可得此式)

其中 AB=BC，故可改寫為 \overline{AC}\cdot\overline{BD} = (\overline{AD} + \overline{DC})\cdot\overline{BC}

同理對圓內接四邊形 ABCE 亦有 \overline{AC}\cdot\overline{BE} = (\overline{AE} + \overline{EC})\cdot\overline{BC}

因 \overline{BD} 為直徑，故 \overline{BD} > \overline{BE}

再以上式比較托勒密所得之二式，即可得 \overline{AD} + \overline{DC} > \overline{AE} + \overline{EC}

用餘弦定理應該也可以...

借用寸絲老師的圖，令AD=DC=d，AE=a，EC=b，AC=x，

則有 \displaystyle a^2+b^2-2ab\cos E=x^2=d^2+d^2-2dd\cos D

整理得 \displaystyle \frac{a^2+b^2-2d^2}{2ab-2d^2}=\cos E   

(其中因為D到AC的距離比E到AC的距離大，所以a(ADC)>a(AEC)，d^2>ab，分母沒有問題)

推得 \displaystyle (\frac{a^2+b^2-2d^2}{2ab-2d^2})^2<1

\displaystyle (a^2+b^2-2d^2)^2<(2ab-2d^2)^2

\displaystyle ((a+b)^2-4d^2)(a-b)^2<0

\displaystyle (a+b)^2-4d^2<0

因此 \displaystyle a+b<2d

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-21 11:58 PM 編輯 ]

寸絲老師。
你算式中三根次方和，三次，四次，五次，六次。怎麼求得的

利用 \alpha, \beta, \gamma 滿足三次式 x^3 -x - 1 = 0

因此有 \alpha^{n+3} = \alpha^{n+1} + \alpha^{n} ,   \beta, \gamma 亦同

故有遞迴關係 \sum \alpha^{n+3} = \sum \alpha^{n+1} + \sum \alpha^n

以此遞迴式計算之 35# 所列之式子

關於填充五，寫一個從以前同事那邊偷學到的方法

可以看出這是凡得夢行列式(可能差個符號)，所以考慮矩陣
\displaystyle A=\left( \begin{array}{ccc} 1  &  a  &  a^2  \\ 1  &  b  &  b^2  \\ 1  &  c  &  c^2  \end{array} \right)
所求 (a-b)(b-c)(c-a)=det(A)
又 det(A)=det(A^T)
考慮
\displaystyle A^TA=\left( \begin{array}{ccc} 3  &  a+b+c  &  a^2+b^2+c^2  \\ a+b+c  &  a^2+b^2+c^2  &  a^3+b^3+c^3  \\ a^2+b^2+c^2  &  a^3+b^3+c^3  &  a^4+b^4+c^4  \end{array} \right)
所以
\displaystyle ((a-b)(b-c)(c-a))^2=det(A^TA)=\left| \begin{array}{ccc} 3  &  0  &  2  \\ 0  &  2  &  3  \\ 2  &  3  &  2  \end{array} \right|=-23
故 \displaystyle (a-b)(b-c)(c-a)=\pm \sqrt{23}i

[ 本帖最後由 老王 於 2013-4-22 07:18 PM 編輯 ]