填充第 3 題:
連續丟擲 \(n\) 回硬幣,在所有情況中,正面不連續出現的情況有 \(a_n\) 種,
則 \(a_1=2,a_2=3\),\(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\)
\(n\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
\(a_n\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(8\) | \(13\) | \(21\) | \(34\) | \(55\) | \(89\) | \(144\) |
(是的~它是 Fibonacci 數列~:P)
所求=\(\displaystyle \frac{144}{2^{10}}=\frac{9}{64}\)
另解,
\(10\) 次中沒有正面的有 \(1\) 種,
\(10\) 次中恰有 \(1\) 次正面的有 \(C^{10}_1\) 種,
\(10\) 次中恰有 \(2\) 次正面(任兩正面都不相鄰)的有 \(C^9_2\) 種,
\(10\) 次中恰有 \(3\) 次正面(任兩正面都不相鄰)的有 \(C^8_3\) 種,
\(10\) 次中恰有 \(4\) 次正面(任兩正面都不相鄰)的有 \(C^7_4\) 種,
\(10\) 次中恰有 \(5\) 次正面(任兩正面都不相鄰)的有 \(C^6_5\) 種,
所求=\(\displaystyle \frac{1+C^{10}_1+C^9_2+C^8_3+C^7_4+C^6_5}{2^{10}}=\frac{9}{64}\)