填充題 5. 平面上由上而下依序劃三條相異的平行線 L₁，L₂，L₃，其中 L₁ 與 L₂，L₂ 與 L₃ 的距離分別為 d₁，d₂。若在三條直線上各取一點，使它們構成一個正三角形，則此正三角形的邊長為何?


想法: 這題的尺規作圖法為: 將 L₁ 繞 L₂ 的某點 A 旋轉 60° 後，與 L₃ 交於 C，則 AC 為該正三角形的一邊。由此可構思出一個求邊長之法。


圖形請參考

101竹北高中.png (5.59 KB)

2016-9-16 07:52

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如圖，L₂ 上一點 A 在 L₁，L₃ 的垂足分別為 D, E。將 D 與 L₁ 繞 A 旋轉 60° (則 D → D'，L₁ → L₁')， L₁' 與 L₃ 交於 C。則 AC = x 即為所求。

因 A, D', C, E 共圓，故 x = D'E/sin120° = 2√ [(d₁² + d₂² + d₁d₂)/3]  (配合 △AD'E 中的餘弦定理)


本題另一個代數作法: 由聯立方程 x*cosθ = d₁ 與 x*cos(120°- θ) = d₂，解出 x 即可。

abR,f(x)=x3−x2+ax+b。若方程式f(x)=0在閉區間[−2−1][−11][12]的範圍內各有一實根，求01f(x)dx 的最大最小值

這一題有算出答案 但不確定是否誤打誤撞得到正確答案 還請先進們指教

設[−2−1][−11][12]

因為三根和為1，所以1=1−−2    −1+0
配合−2−1−11,可以劃出其可行解範圍為一個頂點為(−11)(−21)(−10)的三角形

因為所求並非平方相加,分式這種需要由圖形判斷的東西
可以直接由頂點法得到所求
若()=(−111) , a=−1b=1
若()=(−212) , a=−4b=4
若()=(−102) , a=−2b=0

分別代入所求21a+b−112
若a=−1b=1,所求為512
若a=−4b=4,所求為1223  
若a=−2b=0,所求為12−13

可得最大值為1223  ，最小值為12−13

a/2 + b 用 α、β 來表示，並非線性的
所以這樣做，答案會對，應該只是湊巧

謝謝鋼琴老師的指教