引用:
原帖由 Superconan 於 2025-4-4 02:39 發表 
請問老師如何知道 (p,q) = (12,13) 或 (13,12) 時，2K有最大值？
直觀的說，因為算幾不等式，等號成立時\(p=q=12.5\)不合，因此找最接近的整數點。
若要證明，可能會以\(p+q=m\)，先說明\(m\)與\(K\)的關係，再依\(m\)的奇偶性進行討論。
底下試著寫看看，若有疏漏或不嚴謹，再請指正。
令\(p+q=m\)，求\(\frac{pq}{p+q}=\frac{pq}{m}\)的範圍
(1)\(\frac{pq}{p+q}=\frac{pq}{m}=-\frac{1}{m}p^2+p=-\frac{1}{m}(p-\frac{m}{2})^2+\frac{m}{4}\leq \frac{m}{4}\)
(2)當\(m=2n\)，則\(p=n\)時，\(\frac{pq}{p+q}有最大值為\frac{n}{2}\)
當\(m=2n+1\)，則\(p=n或n+1\)時，\(\frac{pq}{p+q}有最大值為\frac{n(n+1)}{2n+1}\)
因此，當\(m=25\)時，\((p,q)=(12,13)或(13,12)\)
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本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-4 11:47 編輯 ]
