引用:

原帖由 LookBack 於 2025-4-5 23:07 發表
想請教E、L、N，謝謝

第E題
由原式化簡，得\( \frac{ab}{\cos A \cos B} =\frac{ac}{\cos A \cos C} +\frac{bc}{\cos B \cos C} \)
即\(ab\cos C=ac\cos B+bc \cos A=c(a\cos B+b \cos A)=c^2 \)
又由餘弦定理，知\( \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)，因此\(a^2+b^2=3c^2\)
故\(\cos C=\frac{\frac{2}{3}(a^2+b^2)}{2ab} \geq \frac{\frac{2}{3}(2ab)}{2ab}\geq \frac{2}{3}\)

第L題
有一個想法，因為根號的限制，得\(0<t<1\)，
令\(t=\cos \theta\)，其中\(0<\theta<\frac{\pi}{2}\)
對原式雙邊平方，進行化簡得\(\theta\)值，再估計\(t^2\)
但計算有點複雜，再想想有沒有其他方式。

第N題
因為\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)=0\)，所以\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
又\(xy+xz+yz=\frac{1}{2}((x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2))=-3\)
令\(xyz=p\)，則\(x,y,z\)為\(t^3-3t=p\)三實數解
由微分知，\(f(t)=t^3-3t的範圍為[-2,2]\)
故\(x^3+y^3+z^3\)的最大值為\(6\)，最小值為\(-6\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-6 11:54 編輯 ]

第 L 題
√(1 - x) = 2x^2 - 1 + 2x√(1 - x^2)

令 t = cosθ，0＜θ＜π/2
√(1 - cosθ) = 2(cosθ)^2 - 1 + 2cosθ√[1 - (cosθ)^2]
√[2(sin(θ/2))^2] = cos2θ + 2cosθsinθ
√2 * sin(θ/2) = cos2θ + sin2θ
sin(θ/2) = sin(2θ + π/4)
θ/2 = π - (2θ + π/4)
θ = (3/10)π

t^2 = [cos(3π/10)]^2 = [sin(π/5)]^2 = (5 - √5)/8 ≒ 0.35

填充L

感謝三位老師的回覆，受益良多！

引用:

原帖由 LookBack 於 2025-4-5 23:07 發表
想請教E、L、N，謝謝

L: (另解)
令a=2x√(1-x²) , b=2x²-1,則
a²+b²=1----------(1)
a+b=√(1-x)---------(2)
(2)^2 =>  a²+2ab+b²=1-x------(3)
將(1)代入(3),得2ab=-x
所以2*2x(√(1-x²))*(2x²-1)=-x  (x≠0)
4(√(1-x²))*(2x²-1)=-1--------(4)
令√(1-x²)=y代入(4)得 4y(1-2y²)=-1
(2y+1)(4y²-2y-1)=0 ,y=(1+√5)/4 [其他y=-1/2, (1-√5)/4不合]
所求t²=1-y²=1-[(1+√5)/4]²=(5-√5)/8

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-4-8 21:50 編輯 ]

整理了填充題解答，也有參考老師們的寫法，供參考~