填充12

1.
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{3}{n^2}\left[\sqrt{4n^2-(3\times 1)^2}+\sqrt{4n^2-(3\times 2)^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-(3\times n)^2}\right]=\)　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

試求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left[\sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right]=\)　　　。
(104高雄市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2290&page=1#pid13706)

3.
設三次函數\(\displaystyle f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}\)，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2024}f\left(\frac{k}{2025}\right)\)的值。

有人跟我一樣覺得填充12有疑義嗎??

最高點、最低點 指的是 區間內的圖形最高最低各一個(y不一定是+-2)，還是原始圖形的最高(y=2) 最低(y=-2)各一個

顯然官方給的答案是最高(y=2) 最低(y=-2)各一個的答案

我的想法是""f(x)在[-pi/4,pi/3]區間的圖形""像這樣，畫出來會有最高跟最低各一個點發生在端點
所以如果對文義的理解是這樣的話，答案應該是0<k<4

想請教老師們計算4

整理了填充題解答。
補上計算題解答，供參考~

計算第 4 題
易知 P_1(a，c)，P_2(a^2 + bc，ac + cd)

(1) c = 0
OP_1 = 1，a^2 + c^2 = 1，a = ±1
(i) a = 1，P_n = (1，0)，OP_n = 1
(ii) a = -1，P_n = (±1，0)，OP_n = 1

(2) c ≠ 0
det(A) = 1，ad - bc = 1
OP_1 = 1，a^2 + c^2 = 1
OP_2 = 1，(a^2 + bc)^2 + (ac + cd)^2 = 1

a^4 + 2a^2bc + b^2c^2 + a^2c^2 + 2ac^2d + c^2d^2 = 1
a^4 + 2a^2(ad - 1) + (ad - 1)^2 + a^2(1 - a^2) + 2ad(1 - a^2) + (1 - a^2)d^2 = 1
d^2 = a^2

(i) d = a，a^2 - bc = 1 = a^2 + c^2，b = -c，矩陣 A 是旋轉矩陣，OP_n = 1
(ii) d = -a，P_1(a，c)，P_2(-1，0)，P_3(-a，-c)，P_4(1，0)，P_5(a，c)，P_6(-1，0)，...，OP_n = 1

感謝兩位老師