第 10 題
用三次函數的對稱中心在 x=1/2，可得原式 = 112 * f(1/2) + f(1) = -55。
（k=113 時沒有另一個對應的項，所以另外加）

請教填充3

引用:

原帖由 ChuCH 於 2024-6-17 20:00 發表
請教填充3

#3
令(4y-7z)/x=(2x-2z)/(5y)=(x+2y)/z=t
t*x-4y+7z=0
-2x+5t*y+2z=0
-x-2y+t*z=0
令△=
|t    -4    7  |
|-2   5t    2 |  =0
|-1   -2    t  |
5t^3+31t+36=0 ,解出t=-1
代入原式得x:y:z= (-9):4:1

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-6-17 21:49 編輯 ]

我跟廣義柯西不等式不熟...
以下提供兩個微積分的解法，大同小異。

(Sol1) Lagrange multiplier
令\( \displaystyle g(a,b) = \frac{27}{a^2} + \frac{1}{b^2}-1、f(a,b)=a+b\)，所求為 \( f(a,b) \) 的最小值，\( a,b \)須滿足\( g(a,b)=0 \)。
定義\( \displaystyle \nabla{f}=( \frac{\partial{f}}{\partial{a}}, \frac{\partial{f}}{\partial{b}} )\)。
極值發生時\( \nabla{g}= \lambda \nabla{f} \)，for some real number \( \lambda\)，是故：
\( \displaystyle (-\frac{54}{a^3}, -\frac{2}{b^3})=( \lambda, \lambda ) \)，因此\( \displaystyle -\frac{54}{a^3} = -\frac{2}{b^3} \)，即\( \displaystyle a^3=27b^3  (或是 a=3b) \)
因此\( a=6, b=2 \)，由大致函數圖形可判斷此時為最小值。

(Sol2) Implicit Differentiation
將 \( b視為a的函數\)，並將\( \frac{27}{a^2} + \frac{1}{b^2}-1=0 \)對\( a \) 做微分，可得\( \displaystyle -\frac{54}{a^3}-\frac{2}{b^3} ( \frac{db}{da} )=0 \)。
設 a+b=k ，則在以a為橫軸，b為縱軸的平面上，a+b=k 是一條斜率為-1的直線，將\( \frac{db}{da}=-1\)帶入上式，可得\( a^3=27b^3\)，後續計算就跟上面一樣。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-25 10:11 編輯 ]