計算證明題 2(1) 想了很久，一開始就如 farmer 所說，過程麻煩，難得表達。
昨天晚上睡覺躺在床上，想出一個相對比較滿意的版本。
使用歸謬法，假設存在和局。
考慮和局時，最終27件積木的擺放情形，將其看成一個立方體，並將其立在水平面上。
注意到立方的八個角落(頂點)中，兩兩最遠與中心成一直線。
接面我們以面為單位，考慮其各種可能(或不可能)
1、 此立方體的六個側面不會出現四個角落為相同積木的情形。
說明：若有四個角落為相同積木，如下圖所示，A表示同一種積木。此面上其餘5個位置任意放入一個A，均會使得AAA連線，但其餘五格為均放入另一種積木B，亦會使得BBB連線。
故此立方體的六個側面不會出現四個角落為相同積木的情形，此結果亦適用在其它過中心的水平面、鉛直面、與水平面夾 45° 的斜面。
A A
A A
2、 此立方體的六個側面不會出現四個角落為兩種相同積木各2個的情形。
說明：若有四個角落為兩種積木各兩個，則可以為以下兩種情形：
(1) 如下所示，此面中心，無論放入積木A或B，均會使得AAA或BBB連線，故此情形不會發生。
A B
B A
(2) 另一種情形如下所示，不失一般性假設立方體的中心為A。
A B
A B
那麼在立方體中，與此二A最遠的角落(頂點)必然為積木B，否則將與中心形成AAA連線，如下圖所示。
如此一來就出現一個側面四個角落均為相同的積木B，再由先前的推論知道，這個情況也是不可能的。
綜合以上1、2，我們知道，四個角落只能有剩下來的情形AAAB或ABBB。
依3A或3B的情形考慮其它位置，易得僅有以下兩類情形(及其對稱、旋轉)
A A B B A B
B B A B A A
A B A A B B
而此兩類似的側面是無法相接的，說明：
角落為AAAB，四個邊只有 AAB、ABA
角落為ABBB，四個邊只有 BBA、BAB
故此類情形無法有共用邊。
不失一般性假設，其中一面為
A A B
B B A
A B A
與其共用角落B的另兩個面就唯一決定了，如下圖
從最底下的水平面來看，未標出的角落角必然是B。
但立方體正中心無論是A或B，均會與此8個角落發生AAA連線或BBB連線。故得矛盾。因此不存在和局之情形。
(論證過程中沒有用到數量14、13，也就是說只要兩種合起來27個擺進去，必然有相同的三個共線。
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本帖最後由 tsusy 於 2024-4-17 11:34 編輯 ]
