想問填充第三題，謝謝

引用:

原帖由 HLX 於 2022-5-8 18:05 發表
想問填充第三題，謝謝

用partial fraction
\(=\sum\frac4{n^2(n+1)^2}=\sum4\left(\frac1{n^2}+\frac1{(n+1)^2}+\frac2{n+1}-\frac2n\right)\)
\(=4\left(\frac{\pi^2}6+\left(\frac{\pi^2}6-1\right)-\frac21\right)=\frac{4\pi^2}3-12\)

中間的等號，是因為題目給了該級數和收斂，跟後面telescope收斂。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-8 19:27 編輯 ]

第3題
可以這樣拆
\(\begin{align}
  & \frac{1}{{{1}^{3}}+{{2}^{3}}+\cdots +{{k}^{3}}} \\
& =\frac{4}{{{k}^{2}}{{\left( k+1 \right)}^{2}}} \\
& =4\left[ \frac{2k+3}{{{\left( k+1 \right)}^{2}}}-\frac{2k-1}{{{k}^{2}}} \right] \\
\end{align}\)

引用:

原帖由 PDEMAN 於 2022-5-8 11:53 發表
填充4 另解
\(f(15)=-15,f(22)=-23,f(29)=-31,f(36)=t\)
四點用插值，可寫出
\(f(x)=-15c^{x}_{0}-\frac{8c^{x}_{1}}{7}+\frac{0c^{x}_{2}}{7^2}+\frac{(t+39)c^{x}_{3}}{7^3}\)
最後因為首項係數為1
所以\(\frac{(t+3 ...

令\(g(n)=f(7n+8)\)
則變成解\(g(1)=-15, g(2)=-23, g(3)=-31\)且\(g(x)\)領導係數為\(7^3=343\)，然後求\(g(4)\)(其實也可以不做這個動作，直接算\(f\)，只是數字大了點)
而\(x\)成等差的時候\(y\)也成等差，所以\(x=2\)時是三次多項式的中心，令\(g(x)=343(x-2)^3+a(x-2)-23\)
因為\(g(1)=-15\)，解得\(a=-351\)，所以\(g(x)=343(x-2)^3-351(x-2)-23\)，因此\(g(4)=343\times8-351\times2-23=2019\)。

出題老師應該是直接抄2019年某個地方的題目，連改都沒改。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-9 17:20 編輯 ]

第 4 題
g(x) = f(7x + 8) - (7x)^3
g(1) = f(15) - 7^3
g(2) = f(22) - 8 * 7^3
g(3) = f(29) - 27 * 7^3
g(4) = f(36) - 64 * 7^3

由巴貝奇定理
g(4) - 3g(3) + 3g(2) - g(1) = 0
f(36) - 64 * 7^3 - 3f(29) + 81 * 7^3 + 3f(22) - 24 * 7^3 - f(15) + 7^3 = 0
f(36) = 6 * 7^3 + 3f(29) - 3f(22) + f(15) = 2058 - 93 + 69 - 15 = 2019

第10題
令\(A-B=\alpha\)，\(B-C=\beta\)，則\(C-A=-(\alpha+\beta)\)
\(\cos^2(A-B)+\cos^2(B-C)+\cos^2(C-A)=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)\)
由算幾不等式知極值發生在三數相等時，\(\alpha=\beta\)且\(\alpha+(\alpha+\beta)=\pi\)
得\(\alpha=\beta=\frac{\pi}{3}\)時有最小值\(\frac{3}{4}\)

[ 本帖最後由 jim1130lc 於 2022-5-9 12:57 編輯 ]

全國中方法

引用:

原帖由 jim1130lc 於 2022-5-9 12:38 發表
第10題
令\(A-B=\alpha\)，\(B-C=\beta\)，則\(C-A=-(\alpha+\beta)\)
\(\cos^2(A-B)+\cos^2(B-C)+\cos^2(C-A)=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)\)
由算幾不等式知極值發生在三數相等時，\(\alpha=\beta\)且 ...

這樣不完整吧，須說明如何湊出這個算幾。
不過通常填充的不等式，都可以直接猜平均或極端的情況，大概九成都會對。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-9 17:43 編輯 ]

您好，想請問填充7的題意是什麼意思??
看了您的算式後還是不太理解題目想要求的是什麼QQ
謝謝!!

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2022-5-9 17:41 發表


這樣不完整吧，須說明如何湊出這個算幾。
不過通常填充的不等式，都可以直接猜平均或極端的情況，大概九成都會對。

感謝教授補充...的確應該要再更完整比較好