請教第6、8題

引用:

原帖由 Harris 於 2022-4-22 11:12 發表
請問老師11題如何得到-1這個答案？我只有算出k=3，是因為還有其他k值嗎？

鋼琴老師已回~
補充一下 這題其實是國中的資優題
但如果是給國中生考,另一個 a+b+c=0的情況可能就會有問題
因為此時a,b,c會出現複數解

謝謝兩位老師的回應

另外回覆21樓：
第6題
實係數多項方程式\(f(x)=x^4+2(k-2)x^3-7(k-1)x^2+px+q=0\)，已知\(2+i\)為其複數根，另有兩根為實數，求\(pq\)的最小值為　　　
[解答]
將原多項式除以(x^2-4x+5)商式為(x^2+2kx+(k+2))，展開得到p=6k-8，q=5k+10
搭配上兩實根，剩下就是二次函數配方法而已囉

第8題
坐標平面上，\(C\)：\(x^2+y^2=1\)，一定點\(A(-2,0)\)，\(Q\)為圓\(C\)上的動點，以\(Q\)為中心，將\(A\)點逆時針旋轉90度得\(P\)點，求動點\(P\)的軌跡方程式為　　　
[解答]
設Q(cos,sin)，AQ向量和PQ向量垂直且等長
P點參數式(cos+sin, sin-cos-2)，消掉參數式就是答案囉

謝謝老師解惑

第四題
設有一張長方形的紙\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=4\)，通過對角線\(\overline{BD}\)的中點\(M\)且垂直於\(\overline{BD}\)的直線分別交\(\overline{AB}\)與\(\overline{CD}\)於\(E\)、\(F\)兩點，當以\(\overline{EF}\)為折線把紙\(ABCD\)折起來，使得平面\(AEFD\)垂直於平面\(EBCF\)，此時若\(\angle CFD=\theta\)，\(0<\theta<\pi\)，求\(cos\theta=\)　　　。
[解答]
另一個做法
先求得 線段\(AE=3\),線段\(BM=2\sqrt{5}\)
接著座標化得\(B(4,2,2\sqrt{5}),E(3,0,0) ,A(0,0,0)\)
最後因為向量\(EB\)平行 向量\(FC\)
利用 向量\(EA\)與 向量\(EB\) 求得

請問第13題
印象中好像某年考過類似的題目?

第 13 題
已知一個圓內接八邊形\(P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8\)，若\(\overline{P_1P_2}=\overline{P_3P_4}=\overline{P_5P_6}=\overline{P_7P_8}=3\)，且\(\overline{P_2P_3}=\overline{P_4P_5}=\overline{P_6P_7}=\overline{P_8P_1}=4\)，則此八邊形面積=　　　
[解答]
把八邊形切成全等的 4 塊
每塊四個邊長分別是 3、4、r、r，其中 r 是半徑
r 和 r 這兩邊的夾角是 90 度，3 和 4 這兩邊的夾角是 135 度
再搭配餘弦定理就可以了

空間中一點\(P(4,3,1)\)，\(C\)：\(\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13\cr x+2y+2z=3}\)，\(Q\in C\)，求\(\overline{PQ}\)之最大值為[u]　　　[/u]

版上老師好   請問第一題不知道哪裡算錯了

過程如附件

\(Q_1\)在平面\(x+2y+2z=3\)上，但是需要檢查一下\(Q_1\)有沒有在圓上(在球上又在平面上的那圈)

填充第 1 題
空間中一點\(P(4,3,1)\)，\(C\)：\(\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13\cr x+2y+2z=3}\)，\(Q\in C\)，求\(\overline{PQ}\)之最大值為　　　
[解答]
這題至少有 3 個學校考過，不過都是求最小值
家齊改成求最大值

求出 P(4，3，1) 在平面 x + 2y + 2z = 3 的投影點 P'(3，1，-1)
平面和球的交圓之圓心為 O(-1，-1，3)，半徑 2

PQ 之最大值 = √[PP'^2 + (OP' + 2)^2] = √73