計算二
也分享一個拙拙的做法，參考附圖：
\(\overleftrightarrow{AB}\)為切線，則\(\overline{AG}\)為 角\(F_2AF_1\) 的角平分線。 設\(\overline{AF_2}=k,\,\overline{AF_1}=10-k\)，則\(\overline{GF_2}=\frac{3}{5}k,\,\overline{GF_1}=\frac{3}{5}(10-k)\)
由角平分線性質可得
\(\overline{AG}=\sqrt{\overline{AF_2}×\overline{AF_1}-\overline{GF_2}×\overline{GF_1}}=\frac{4}{5}\sqrt{k(10-k)}\)
因為\(\overline{AB}=\overline{GO}×|\sin\theta|\)，所以先推出\(\sin\theta\)。
由三角形\(AGF_2\)：
\(\displaystyle\cos\theta=\frac{\overline{AG}^2+\overline{GF_2}^2-\overline{AF_2}^2}{2\overline{AG}· \overline{GF_2}}=\frac{\frac{16}{25}k(10-k)+\frac{9}{25}k^2-k^2}{2×\frac{4}{5}\sqrt{k(10-k)}×\frac{3}{5}k}=\frac{4(5-k)}{3\sqrt{k(10-k)}}\)
所以\(\displaystyle\sin\theta=±\sqrt{1-\frac{16(5-k)^2}{9k(10-k)}}=\frac{5}{3}\sqrt{\frac{(k-2)(k-8)}{k(k-10)}}\)
\(\displaystyle\overline{AB}=\overline{GO}×|\sin\theta|=\frac{3}{5}(5-k)\frac{5}{3}\sqrt{\frac{(k-2)(k-8)}{k(k-10)}}=\sqrt{\frac{(k^2-10k+25)(k^2-10k+16)}{k(k-10)}}\)
而\(\displaystyle\frac{(k^2-10k+25)(k^2-10k+16)}{k(k-10)}=\frac{400}{k(k-10)}+k(k-10)+25+16=41-\left(\frac{400}{k(10-k)}+k(10-k)\right)\leq41-2\sqrt{400}=1\)
所以最大值為1，此時\(\displaystyle\frac{400}{k(10-k)}=k(10-k)\)，解得\(k=5±\sqrt{5}\)或 \(k=5±3\sqrt{5}\)(後者不合，因為\(2\leq k\leq 8\))
將\(k=5-\sqrt{5}\)代入 \(cos\theta=\frac{4(5-k)}{3\sqrt{k(10-k)}}=\frac{2}{3}\)
此時，由梯形ABOG可得 \(\displaystyle R=\overline{BO}=\overline{AG}+\overline{GO}×\cos\theta=\frac{4}{5}\sqrt{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}+\frac{3\sqrt{5}}{5}×\frac{2}{3}=2\sqrt{5}\)
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本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-8-5 11:19 編輯 ]
