填充15
設 \(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}\)，\(S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n}}\)
\(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{2}_{2}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{1}_{1}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{1}+C^{k}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{1}_{1}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{1}}{2^{k-1}}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{C^{k}_{1}}{2^{k-1}}}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}S_{n-1}\)
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n-1}}\)
\(S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}S\)
因此 \(S=2\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}\)
設 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}=L\)
\(\ \ L=1\cdot(\frac{1}{2})^{0}+2\cdot(\frac{1}{2})^{1}+3\cdot(\frac{1}{2})^{2}+\cdots\)
\(\frac{1}{2}L= \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\cdot(\frac{1}{2})^{1}+2\cdot(\frac{1}{2})^{2}+3\cdot(\frac{1}{3})^{2}+\cdots\)
上下相減得
\(\frac{1}{2}L=1+(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+\cdots\)
\( \ \ \ \ \ =\frac{1}{1-0.5}\)
\( \ \ \ \ \ =2\)
\(L=4\)
\(S=2L=8\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-30 05:58 編輯 ]

#15另解~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-29 23:01 編輯 ]

請問公告版的第4題
這題當初列出的式子 Pn=2/3-(1/3)Pn-1

第4題
用馬可夫矩陣的方法

\(\frac{5}{32}+\frac{5}{32}=\frac{5}{16}\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-30 10:20 編輯 ]

我是這麼算的，用轉移矩陣

謝謝兩位老師
可以請問你們要怎麼分辨要用矩陣還是數列呢?
這題如果用數列來做可行嗎?

第 4 題
設交換\(n\)次後，甲袋內兩顆球的和為偶數的機率為\({{p}_{n}}\)
\(\begin{align}
  & {{p}_{n}}\text{=}{{p}_{n-1}}\times 0+\left( 1-{{p}_{n-1}} \right)\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{{p}_{n-1}} \\
& {{p}_{0}}=1 \\
& {{p}_{1}}=0 \\
& {{p}_{2}}=\frac{1}{2} \\
& {{p}_{3}}=\frac{1}{4} \\
& {{p}_{4}}=\frac{3}{8} \\
& {{p}_{5}}=\frac{5}{16} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-30 12:38 編輯 ]

另解:
    n(n+1)/2^n=(1+2+3+.......+n)/2^(n-1)  ,  n=1,2,3,4,........
所求=[(1/2^0+1/2^1+1/2^2+.....)+(1/2^1+1/2^2+.....)+(1/2^2+.....)+.......]/(1-1/2)
                                      (  [............ ]為各取一個的第一回合,而第二回合所取之值是第一回合的一半,公比=1/2,取無限多回合 )
       =[2+1+1/2+.....]*2=4*2=8

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-4-30 15:58 編輯 ]

填充 15.
另解 :   所求/4=1+[(1+x)/2]+[(1+x)/2]^2+[(1+x)/2]^3+.......中 x^2 的係數
                       =1/[1-(1+x)/2]=2/(1-x)=2(1+x+x^2+....)中 x^2 的係數
                       =2  , 故所求=8

若原題中分子改為n(n+1)(n+2) ,分母不變
則  所求/(2*3*2^2)=1+[(1+x)/2]+[(1+x)/2]^2+[(1+x)/2]^3+[(1+x)/2]^4+.......中 x^3 的係數
                         =1/[1-(1+x)/2]=2/(1-x)=2(1+x+x^2+....)中 x^3 的係數
                         =2  , 故所求=48
若原題中分子改為n(n+1)(n+2)(n+3) ,分母不變 , 則所求=2*3*4*2^3*2=384
若原題中分子改為n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) ,分母不變 , 則所求=5!*2^5 ,  即分子有k個數時 , 所求=k!*2^k   (此結論經由Excel 驗證，無誤)

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-4-30 21:35 編輯 ]

請問填7

真的有五的點！

謝謝鋼琴老師。

[ 本帖最後由 mojary 於 2019-5-6 15:48 編輯 ]