謝謝，填充5已更正

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-26 06:55 編輯 ]

填充六
小弟提供一個簡單的想法
今年學科能力競賽也有考過
類似條件機率的考法
第一種點數的期望值1
第一種出現後，第二種點數的期望值1/(4/6)=3/2
第一種與第二種出現後，第三種點數的期望值
1/(2/6)=3
所以所求1+3/2+3=11/2

填充題 4. 另解

板友可能聯想到柯西不等式，似乎只能求得最小值; 不過本題最大值亦可借用之:

[ (x+2) + (2y-10) ] * (1 + 1/2) ≥ [ √(x+2) + √(y-5) ]² = 36

x+2y ≥ 32 (等號可取得)

以下考慮最大值。把上列的柯西不等式與平面向量聯繫，即表示:

向量u ( √(x+2), √(2y-10) ) 與 向量(1, 1/√2) 的內積為定值，求向量u 有最大長度的情形。

在此條件，一般來說隨著兩向量夾角趨近 90° 而不存在向量u 的最大長度。但本題因向量u 有 x, y 分量皆為非負的限制，故向量u 的最大長度產生於兩向量夾角最接近 90° 時，即當 (圖解) x = -2，y = 41，從而 x+2y 的最大值 = 80。

故 (M, m) = (80, 32)



填充題 8. 另解

題意可以類比 "倒出溶液，再加入水" 的過程。

所求 = 第 5 天的鹹餅 "濃度" (即 "比例的期望值")

= 1 - 第 5 天的甜餅濃度

= 1 - (9/10)*(8/10)*(7/10)*(6/10)

= 436 /625

引用:

原帖由 王重鈞 於 2017-4-27 15:53 發表
填充六
小弟提供一個簡單的想法
今年學科能力競賽也有考過
類似條件機率的考法
第一種點數的期望值1
第一種出現後，第二種點數的期望值1/(4/6)=3/2
第一種與第二種出現後，第三種點數的期望值
1/(2/6)=3
所以所求1+3/2+3 ...

此為幾何分配的題目。  期望值為1/p