引用:

原帖由 Sandy 於 2017-4-11 14:17 發表
6.a_6=1 前五項C11 取5
7. 成功的機率是0.3 公式推導一下就知道了

ok,是我弄錯了,謝謝

第8題看 ichiban 兄的(連微積分基本定理都算錯...我在幹嘛啊orz)

用跟ichban很像又不太像的做法
令\(\displaystyle f(x)=\int_a^x \frac{1}{1+x^4}dx\)
\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\int_{(3+h)^2}^9\frac{1}{1+x^4}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to 0}\frac{f(9)-f(h(h+6)+9)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to 0}(h+6)\times \frac{f(9)-f(h(h+6)+9)}{h(h+6)}\)(乘法的左右極限值皆存在)
\(\displaystyle =\lim_{h\to 0}(h+6)\times \lim_{h(h+6)\to 0}\frac{f(9)-f(h(h+6)+9)}{h(h+6)}\)
\(\displaystyle =6\times(-f'(9))\)
\(\displaystyle =\frac{-6}{1+9^4}\)

54分進複試

填充題 4. 實數 p, q, r ≥ 0，且 p + q + r = 1，已知 x = p + 3q + 4r，y = 2p + q + 3r，求點 (x, y) 所圍成的圖形面積。


以下構想請看是否正確。

由題意，有下列向量線性關係:

(x, y) = p*(1, 2) + q*(3, 1) + r*(4, 3)，p, q, r ≥ 0，p + q + r = 1

⇒ 所求即頂點為 (1, 2)，(3, 1)，(4, 3) 的三角形面積

⇒ 由公式求得 5/2

沒錯,
於三角形ABC中,在BC 線段上取一點D使BD;DC=r:q,在CA 線段上取一點E使CE:EA=p:r
在AB 線段上取一點F使AF:FB=q:p ,(q/p)*(r/q)*(p/r)=1, 由西瓦逆定理知AD,BE,CF三線段交於一點K,
由孟氏定理得AK:KD=(r+q):p => K=pA+(r+q)D, 而D=(qB+rc)/(r+q) =>K=pA+qB+rC,故K=(x,y)掃出來的區域即為三角形ABC

回復 25# laylay 的帖子

感謝 laylay 老師提供的證明。

這個解法是這樣聯想到的:

考慮平面上相異三點 O, A, B，若 C 點滿足:

向量OC = p*向量OA + q*向量OB，p, q ≥ 0，p + q = 1

則 C 點軌跡為 AB 線段。


推廣至空間成為:

空間中相異四點 O, A, B, C，若 D 點滿足:

向量OD = p*向量OA + q*向量OB + r*向量OC，p, q, r ≥ 0，p + q + r = 1

則 D 點軌跡為 △ABC 及其內部 (含退化為線段情形)。


本題可視為空間中相異四點 O, A, B, C 共面的情況。

第一眼，我也覺得第三題眼熟，可以用算幾

但試了一下，沒做出來，如果可用算幾，可否煩麻寫一下

也先來個另證：

令 \( x=\log_{n-1}n \)，則 \( x>1 \) 且 \( (n-1)^{x}=n\Rightarrow(n-1)^{x-1}=\frac{n}{n-1} \)

\( n^{x}=n\cdot n^{x-1}>n\cdot(n-1)^{x-1}=\frac{n^{2}}{n-1}>n+1 \)

\( \Rightarrow x>\log_{n}(n+1) \)，即 \( \log_{n-1}n >\log_{n}(n+1) \)

應該是這樣吧？
證：\(\displaystyle \frac{log n}{log(n-1)}>\frac{log(n+1)}{log n}\)
pf:
\(\displaystyle \frac{log n^2}{2}>\frac{log(n-1)+log(n+1)}{2}\ge \sqrt{log(n-1)log(n+1)}\)
\(\displaystyle log n>\sqrt{log(n-1)log(n+1)}\)
\((log n)^2>log(n-1)log(n+1)\)

回復 27# tsusy 的帖子

因為不會輸入漂亮的對數符號，當時就沒寫了。當初的構思過程如下:

原題即證:

1 / log_n (n-1) > log_n (n+1)

⇔ 1 > [ log_n (n-1) ]*[ log_n (n+1) ]

因同底的對數相乘沒有搞頭，相加則有，故想到算幾不等式 (各項皆正):

√(上式右式) < { [ log_n (n-1) ]+[ log_n (n+1) ] } /2 = [ log_n (n²-1) ] /2 < [ log_n (n²) ] /2 = 1，從而得證。

基本上同 eyeready 老師的方法。

計算證明題 3. 試證：log_(n-1) n > log_n (n+1) , n > 2 , n ∈ N。

拼湊一個基於直觀的 "另證" 如下。

想法: 以 n 為底的指數函數值變化速率，較以 (n-1) 為底者"快"。當兩者同予以指數 "1" 時，其指數函數值分別為 n 與 (n-1)。現在函數值要再"增加1"，當然是以 n 為底者較快達成，即如待證式含義。  基於這個思維，可以用 "1" 作為待證式中左右兩式的起點，而比較之。

證明: (注意到底數 >1)

左式 -1

= [ log_(n-1) n ] -1

= log_(n-1) [n/(n-1)]

> log_(n-1) [(n+1)/n)]  (∵真數變小)

> log_n [(n+1)/n)]  (∵底數變大)

= [ log_n (n+1) ] -1

= 右式 -1


得證。