題目應該要補上\(x,y\)為正實數...

不需要，以下兩組均可滿足題意
\(\begin{align}
  & x=\frac{\sqrt{2}}{3},y=-\frac{\sqrt{7}}{3} \\
& x=-\frac{\sqrt{2}}{3},y=\frac{\sqrt{7}}{3} \\
\end{align}\)

(1)\(m=0,f\left( x \right)={{x}^{2}}+3>0\)，對所有正實數x，恆成立

(2)\(m<0,f\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+2m+3\)圖形在y軸的左方
只要\(2m+3\ge 0,m\ge -\frac{3}{2}\)，對所有正實數x，\(f\left( x \right)>0\)就恆成立

(3)\(m>0,f\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+2m+3\)圖形在y軸的右方
要\({{\left( -2m \right)}^{2}}-4\left( 2m+3 \right)<0,-1<m<3\)，對所有正實數x，\(f\left( x \right)>0\)才恆成立

故\(-\frac{3}{2}\le m<3\)

我意思是原本題目裡面有正實數這個條件
但原發問者沒有打出來

行列式那題，題意等同:

A,B,C,D,E 排一列，B 不排第 2，C 不排第 3，D 不排第 4 的方法數。

請問行列式那提要怎麼轉化成排列的概念呢？
有比較清楚的解釋為什麼可以這樣看嗎

請問7的第二小題要怎麼看出四實根呢？
由第一小題只知道一實跟？
接下來？
謝謝

7.
若 \( 3\theta +4 \theta = \pi + 2n\pi \) (其中 n 為整數)，則 \( \cos 3\theta + \cos 4\theta = 0 \)

故 \( \displaystyle \cos \frac{2n+1}{7} \pi, n \in \mathbb{Z} \) 皆為方程式 \( 8x^{4}+4x^{3}-8x^{2}-3x+1 = 0 \) 之解。

謝謝老師
只想出第一小題 覺得有點可惜

應該說本來行列式的定義，有些書就是利用排列來定義的，可參考 Linear Algebra, Kolman ; Hill.  有些書(David Poole)是利用由第一列或第一行展開來定義，再利用拉普拉斯展開定理，可得知對任何一列或任何一行展開其值相同，就是我們常說的降階 。所以5階行列式展開(由排列的定義方式)有5! 項