想請問 9

第9題
一模型軌道電動車組，在圓形的軌道上有\(A,B\)兩道關卡，電動車由起點出發，先經過\(A\)到\(B\)再回到原點，不停繞圈繼續行進。假設車子每次經過\(A\)關卡被卡住不動的機率為\( \displaystyle \frac{1}{10}\)，在\(B\)關卡被卡住不動的機率為\(\displaystyle \frac{1}{21}\)，且在不考慮續航力的前提下(電力永遠足夠)，求此電動車環繞軌道圈數的期望值。
[解答]
跑完一圈的機率是\(\displaystyle \frac{9}{10}\times \frac{20}{21}=\frac{6}{7}\)
設所求為\(E\)
則\(\displaystyle E=1\times \frac{6}{7}+E\times \frac{6}{7}\)
\(E=6\)

第9題
另一個構思供參考:
若所求期望值為 n，則 (n+1) 為首次卡住的圈數期望值。
繞一圈卡住的機率是 1 - (9/10)*(20/21) = 1/7 或 (1/10)+(1/21) - (1/10)*(1/21) = 1/7
因此，首次卡住的圈數期望值 = 7 ( p → 1/p )
故所求 = 7-1 = 6

好快喔！但第三行能麻煩thepiano大大解釋一下嗎？

走第一圈的期望值是\(\displaystyle \frac{6}{7}\)圈，接下來有\(\displaystyle \frac{6}{7}\)的機率會回到跟初始狀態(期望值是\(E\))一樣

請教版上老師有關第六題

首先將圓C: X^2+y^2+2x=1  是先令動點P(x,y)=(2^0.5cos@,2^0.5sin@)

然後沿X 軸推移y座標-1倍, 得到新的Pˊ(x,y)=((-1)*2^0.5cos@,2^0.5sin@)

之後再利用x^2+y^2=1(去掉@) 得到y^2+x^2-2x-1=0  之後再做鏡射(y=3x)

再重新令M(x,y)=(2^0.5cos@+1,2^0.5sin@)利用鏡射點的中點在y=3x上和垂直等關係

做出的答案為5x^2+5y^2+8x-6y-5=0    想請教老師是不是在做第一步＂沿X 軸推移y座標-1倍,＂就做錯了！

或是可以提共更快的做法？　　謝謝！

第6題
沿x軸推移y坐標的-1倍
\(\left\{ \begin{align}
  & {{x}_{1}}=x-y \\
& {{y}_{1}}=y \\
\end{align} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{align}
  & x={{x}_{1}}+{{y}_{1}} \\
& y={{y}_{1}} \\
\end{align} \right.\)

代入\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x=1\)，可得
\({{\left( {{x}_{1}}+{{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}+2\left( {{x}_{1}}+{{y}_{1}} \right)=1\)

再對y=3x鏡射
鏡射矩陣\(=\left[ \begin{matrix}
   \frac{1-{{3}^{2}}}{1+{{3}^{2}}} & \frac{2\times 3}{1+{{3}^{2}}}  \\
   \frac{2\times 3}{1+{{3}^{2}}} & -\frac{1-{{3}^{2}}}{1+{{3}^{2}}}  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   -\frac{4}{5} & \frac{3}{5}  \\
   \frac{3}{5} & \frac{4}{5}  \\
\end{matrix} \right]\)


\(\Rightarrow \quad \left\{ \begin{align}
  & x=-\frac{4}{5}{{x}_{1}}+\frac{3}{5}{{y}_{1}} \\
& y=\frac{3}{5}{{x}_{1}}+\frac{4}{5}{{y}_{1}} \\
\end{align} \right.\Rightarrow \quad \left\{ \begin{align}
  & {{x}_{1}}=-\frac{4}{5}x+\frac{3}{5}y \\
& {{y}_{1}}=\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y \\
\end{align} \right.\)

代入\({{\left( {{x}_{1}}+{{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}+2\left( {{x}_{1}}+{{y}_{1}} \right)=1\)，可得

\(2{{x}^{2}}+2xy+13{{y}^{2}}-2x+14y-5=0\)

觀念好清楚！　　謝謝鋼琴老師！