對每一個整數\(n \ge 2\)，令\(A(n)\)表示坐標平面上滿足\(1 \le x<n\)，\( 0\le y\le x[\; \sqrt{x} ]\; \)的區域面積，其中\( [\; \sqrt{x} ]\; \)是小於或等於\( \sqrt{x} \)的最大整數。試求在\( 2 \le n \le 1000 \)中使得\(A(n)\)為整數的\(n\)之個數。
第13題是否可以這樣做呢? 敬請各位指導。
先把區間 [1,1000] 用各完全平方數分割: [1,2²], (2²,3²], ..., (31²,1000]，各區間包含的區域分別是 y 上界為斜率 = 1, 2, ..., 31 之線段的梯形。
明顯地，每個區域的"寬"都是奇數。
考慮 n 由 2 依序增大的面積變化: 在上述斜率為奇數的區間內，n 每增加 1，面積增加 (整數 + 1/2)；而在上述斜率為偶數的區間內，n 每增加 1，面積增加整數。
也就是說，在"奇數區間"內， n 每增加 2，就遇到一個"整數面積"；而在"偶數區間"內， 是否得"整數面積"，取決於"本區間開始時是否已累積整數面積"(若是，則整個區間的 n 皆是；若否，則整個區間的 n 皆否): 故該"偶數區間"得"整數面積"的充要條件為"該偶數前有偶數個奇數"(因為每個區域的"寬"都是奇數)，也就是型如 4k 的偶數方可。
綜上， 區間 ((4k)²,(4k+1)²] (1 ≤ k ≤7) 中的 n 皆合所求；而諸"奇數區間" 的 n 可合併計算 (穿插的"偶數區間"不影響其整數性): 由 1 (不含) 起算，每 2 個 "奇數區間" 的 n 恰有 1 個合所求。
因此， 所求
=∑(1 ≤ k ≤7) [(4k+1)² - (4k)² ] + (1/2)*(1000 - 31² + ∑(1 ≤ k ≤15) [(2k)² - (2k-1)² ])
= 483
