感謝鋼琴老師，真的太強了！尤其是第14題。只能拍案叫絕

對每一個整數n2，令A(n)表示坐標平面上滿足1xn，0yx[x] 的區域面積，其中[x] 是小於或等於x 的最大整數。試求在2n1000中使得A(n)為整數的n之個數。

第13題是否可以這樣做呢? 敬請各位指導。

先把區間 [1,1000] 用各完全平方數分割: [1,2²], (2²,3²], ..., (31²,1000]，各區間包含的區域分別是  y 上界為斜率 = 1, 2, ..., 31 之線段的梯形。
明顯地，每個區域的"寬"都是奇數。

考慮 n 由 2 依序增大的面積變化: 在上述斜率為奇數的區間內，n 每增加 1，面積增加 (整數 + 1/2)；而在上述斜率為偶數的區間內，n 每增加 1，面積增加整數。

也就是說，在"奇數區間"內， n 每增加 2，就遇到一個"整數面積"；而在"偶數區間"內， 是否得"整數面積"，取決於"本區間開始時是否已累積整數面積"(若是，則整個區間的 n 皆是；若否，則整個區間的 n 皆否): 故該"偶數區間"得"整數面積"的充要條件為"該偶數前有偶數個奇數"(因為每個區域的"寬"都是奇數)，也就是型如 4k 的偶數方可。

綜上， 區間 ((4k)²,(4k+1)²] (1 ≤ k ≤7) 中的 n 皆合所求；而諸"奇數區間" 的 n 可合併計算 (穿插的"偶數區間"不影響其整數性): 由 1 (不含) 起算，每 2 個 "奇數區間" 的 n 恰有 1 個合所求。

因此， 所求

=∑(1 ≤ k ≤7) [(4k+1)² - (4k)² ] + (1/2)*(1000 - 31² + ∑(1 ≤ k ≤15) [(2k)² - (2k-1)² ])

= 483

cefepime 兄每次出手都是妙解，小弟佩服之至

2015AIME第14題
如圖，一塊木製半徑為6、高度為8的圓柱體，表面被漆成藍色。點A、B為圓柱的底面圓周上的兩點使得AB為120。將此圓柱體切成兩塊，其截面通過圓柱的中心及A、B兩點，且此截面是一個沒有顏色的平面。設這個截面的面積為a+bc ，其中a、b、c均為整數，且c不能被任何質數的平方所整除。試求a+b+c之值。