看寸絲兄用凸函數解真是高招，
也感謝興傑兄花費寶貴的時間幫小弟打字XD ，小弟終於研究了轉latex的語法


補個填充第五題：
給定正實數\(a\)，若\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}(\frac{x+a}{x-a})^x=e\)，則\(a=\)　　　。(其中\(e\)為自然對數的底數)
[解答]
(1) 作法1可以利用 \[{e^x}\] 為連續函數，然後用羅必達法則
\( \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{x + a}}{{x - a}})^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{x\ln (\frac{{x + a}}{{x - a}})}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }\displaystyle \frac{{\ln (\frac{{x + a}}{{x - a}})}}{{\frac{1}{x}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - \frac{{2a}}{{{{(x - a)}^2}}} \div \frac{{x + a}}{{x - a}}}}{{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}}} = {e^{2a}}\)

(2) 作法2可以直接利用\({e^t} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{t}{x})^t}\)的定義，拆成兩個存在的極限相乘

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + a}}{{x - a}}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2a}}{{x - a}}} \right)^x} = \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{\left( {1 + \frac{{2a}}{{x - a}}} \right)}^{x - a}} \cdot {{\left( {1 + \frac{{2a}}{{x - a}}} \right)}^a}} \right)\)
\(=\mathop {\lim }\limits_{(x - a) \to \infty } {(1 + \frac{{2a}}{{x - a}})^{x - a}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{(x - a) \to \infty } {(1 + \frac{{2a}}{{x - a}})^a} = {e^{2a}} \cdot 1 = {e^{2a}}\)
然後解出 \(a=\frac{1}{2}\)

下面的式子語法好像出不來囧，我再研究一下(糗~

從方程式編輯器把打好的公式，複製後，貼過來網頁。
會出現 $ 的符號。最前面那個要改掉。  尾巴最後面那個 $也要改掉。
全部改成 \+(          \+)           +號拿掉，括號緊貼著斜線。
小括號是不置中。中括號是置中

請問..第4題和第8題該怎麼做呢?
麻煩大家了，謝謝!!

第 4 題
將21個相同的球全部放入3個不同的袋子，若每袋至少一球，且任二袋球數和大於第三袋球數，則球數的安排方案共有　　　種。
[解答]
(10，10，1)：3 種
(10，9，2)：6 種
(10，8，3)：6 種
(10，7，4)：6 種
(10，6，5)：6 種
(9，9，3)：3 種
(9，8，4)：6 種
(9，7，5)：6 種
(9，6，6)：3 種
(8，8，5)：3 種
(8，7，6)：6 種
(7，7，7)：1 種
計 55 種

填4.
將21個相同的球全部放入3個不同的袋子，若每袋至少一球，且任二袋球數和大於第三袋球數，則球數的安排方案共有　　　種。
[解答]
也可以用重覆組合做

\( H_{18}^{3}-C_{1}^{3}\cdot H_{8}^{3}=C_{18}^{20}-3\cdot C_{8}^{10}=55 \)

其中 \( H_{18}^3 \) 代表至少一個任意分，而 \( H_{21-11-1-1}^3 \) 代表某一個 \( \geq 11 \) 使另兩個相加少於多的這袋，不符合題意要求，需扣除

第8題
已知\(\Delta ABC\)的三邊長\(a,b,c\)和面積\(S\)滿足關係式\(S=a^2-(b-c)^2\)，且\(b+c=8\)，則\(\Delta ABC\)的面積\(S\)的最大值為　　　。
[解答]
代海龍公式:
$$ \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{16}}=a^2-(b-c)^2$$
接著左右平方, 化簡得:
$$
\begin{aligned}
&17a^2-17b^2-17c^2+30bc=0\\
\Rightarrow &\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}=\frac{15}{17}=\cos A\\
\Rightarrow &\sin A=\frac{8}{17}
\end{aligned}
$$
又, 由\(b+c=8\)及算幾不等式, 得\(bc\leq16\)
故
$$\triangle ABC = \frac{1}{2}bc\sin A \leq \frac{64}{17}$$

可以考慮把題目轉換成求周長為21的三角形\(ABC\)
邊長\(a,b,c\)有多少中排列數

這樣有轉就不就等於沒轉，算的方法還是一模一樣

請問填充1