填12.
在坐標平面上的\(\Delta ABC\)中，\(O\)為外心、\(H\)為垂心，若\(\angle A=60^{\circ}\)、\(\angle B=75^{\circ}\)、\(\overline{AB}=4\sqrt{2}\)，求\(|\;\vec{OH}|\;=\)　　　。
[解答]
我不知道有如此妙的公式，所以請容許我暴力解一下

注意 \( \angle AOB=90^{\circ} \)，因此 \( \triangle AOB \) 是等腰直角三角形，\( \overline{AB}=4\sqrt{2}
  \Rightarrow R=4 \)。

架坐標，設 \(O, A, B, C \) 之坐標分別為 \( (0,0), (4,0), (0,4), (-2\sqrt{3},-2) \)。

則其中兩條垂線之方程式為 \( x-y=2-2\sqrt{3} \)、\( \sqrt{3}x+3y=4\sqrt{3} \)。

解聯立得 \( x=4-2\sqrt{3}, y=2 \)。

所以 \( \overline{OH}^{2}=(4-2\sqrt{3})^{2}+2^{2}=32-16\sqrt{3} \)。

開方得 \( \overline{OH}=2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \)。

其實可以不用算H坐標,借一下您一開始的假設
設 O,A,B,C 之坐標分別為 (0,0),(4,0),(0,4),(−2*3^0.5,−2)

設G為三角形ABC重心,則G坐標為( (4-2*3^0.5)/3 ,2/3)
因為O,G,H為歐拉線, 所以OH=3*OG=2(6^0.5-2^0.5)

是，我也剛剛想到，但是我忘了 \( \vec{OH} = 3\vec{OG} \)

想請教第18題

我設切點(t,t^3-t)
令切線斜率m=3t^2-1
所以切線為y-t^3+t=(3t^2-1)(x-t) 過P(a,0)
得到2t^3-3at^2+a=0

接著應該是要找t有三個相異實根
請老師們給點想法，謝謝!

18.
已知函數圖形\(\Gamma\)；\(f(x)=x^3-x\)，而點\(P(a,0)\)是圖形外一點，若過\(P\)恰可作相異三條\(\Gamma\)的切線，則\(a\)的範圍為　　　。
[解答]
接著因為t有三相異實根，與X軸有三交點，兩極值應該分別在X軸異側
故微分找出極值點
f '(t) = 6t^2-6at=0 => 6t(t-a) =0 => t=0 or a
代入f(0) f(a) <0
=> a(2a^3-3a^3+a )<0
=> -a^2(a^2-1)<0
a>1 or a <-1