第 3 題：

\(n^3-1=\left(n^2+n+1\right)\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow n^3-1\equiv0\pmod{n^2+n+1}\)

\(\Rightarrow n^3\equiv1\pmod{n^2+n+1}\)

\(\Rightarrow n^{2010}\equiv1\pmod{n^2+n+1}\)

\(\Rightarrow n^{2010}+20\equiv21\pmod{n^2+n+1}\)

因為 \(n^2+n+1\Bigg|n^{2010}+20\)，所以 \(n^2+n+1\Bigg|21\)

且因為 \(n\in\mathbb{N}\) ，所以 \(n^2+n+1=3,7,\) 或 \(21\)

可解得 \(n=1,2,\) 或 \(4\)

感謝啦,這個做法比較好理解。
請問第7題，有比較好的方法嗎？有老師用列向量的線性組合，但是看不太懂？

請問第12題如果沒有用5倍角那個方法做的話，有其他方式嗎？

計算 12 試著玩看看，難然沒有用到  5 倍角，但不見得比較高明

令 \( t=2x \)，則 \( \frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x}=\frac{\sin10x}{\sin2x}=\frac{\sin5t}{\sin t} \)。

注意這個過程，我們應用了二倍角公式進行化簡。如果要再玩一次，就乘個 \( \frac{\cos t}{\cos t} \) 給它，就會有

\( \frac{\sin5t}{\sin t}=\frac{\sin5t\cos t}{\sin t\cos t}=\frac{\sin6t+\sin4t}{\sin2t} \)，再令 \( y=2t=4x \)。

則又可改寫為 \( \frac{\sin3y+\sin2y}{\sin y}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)。

上面的式子，嚴謹一點，應該寫作「若 \( \sin t\neq0 \) 且 \( \cos t\neq0 \)，則 \( \frac{\sin5t}{\sin t}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)」

但其兩端函數在 \( t \) 使得 \( \cos t=0 \) 處，皆連續，因此可寫為 「若 \( \sin t\neq0 \)，則 \( \frac{\sin5t}{\sin t}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)」

故當 \( \sin x\neq0 \) 且 \( \cos x\neq0 \) 時 \( \frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)，其中 \( y=4x \)。

因此 \( \cos y=-\frac{1}{4} \) 時，上式有最小值 \( -\frac{5}{4} \)。

11題命題有誤，感謝鋼琴老師解惑^^
原帖有些凌亂，把11題的論述理整後po上來：

[ 本帖最後由 airfish37 於 2013-6-22 01:53 PM 編輯 ]

第 11 題
出題老師不想整題都抄對岸的題目，結果又沒注意，然後題目就出錯了！

瑋岳老師 想請教第三題你的解法中
為何可知n²+n+2可整除n^2010+20 ??
想好久 再麻煩老師解惑！！

那是打錯字，前後文一起看就可以接起來了。（立即修正，感謝您。 ）

題目有給 \(n^2+n+1\Bigg| n^{2010}+20\) 。

第 7 題：（提供一個笨方法，或許有更快的方法。）

令 \(\displaystyle A=\left[\begin{matrix}  2 & 1 & 2 \\  1 & -3 & -2 \\  4 & 1 & 3 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle B=\left[\begin{matrix}  4 & 6 & 8 \\  -1 & 0 & 1 \\  7 & 11 & 15 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle C=\left[\begin{matrix}  1 & 2 & 3 \\  2 & 4 & 5 \\  3 & 5 & 6 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle D=\left[\begin{matrix}  a & 5 & 6 \\  7 & b & 11 \\  9 & 12 & c \end{matrix}\right]\)，

\(E\) 表示由左方矩陣到右方矩陣所做列運算對應的基本矩陣的乘積，

則 \(EA=C\) 且 \(EB=D\)，

\(\Rightarrow E=CA^{-1}\) 且 \(E=DB^{-1}\)

\(\Rightarrow CA^{-1}=DB^{-1}\)

\(\Rightarrow D=CA^{-1}B=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 5\\ 3 & 5 & 6\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}-7 & -1 & 4\\ -11 & -2 & 6\\ 13 & 2 & -7\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}4 & 6 & 8\\ -1 & 0 & 1\\ 7 & 11 & 15\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}4 & 5 & 6\\ 7 & 9 & 11\\ 9 & 12 & 15\end{matrix}\right]\)

引用:

原帖由 tsusy 於 2013-5-19 08:04 PM 發表
第8題.

\( a_{n}-[a_{n}]=\begin{cases}
\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
\frac{2}{3} & \mbox{, n is even}
\end{cases} \)，由此可得 \( a_{n+1}=\begin{cases}
a_{n}+\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
a_{n}+ ...

很想哭ㄟ~~
雖然老師您有給提示，可是我還是不會?
因為連您的提示怎麼來我都不知道原因?
可以請老師在解一次嗎?
我想我可能連過程都需要

未命名.png (12.42 KB)

2015-12-21 21:48

謝謝您