第 16 題：

令 \(F(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)，則

\(F(x+1)-F(x)=3ax^2+(3a+2b)x+(a+b+c)\)

解 \(3a=-6,3a+2b=-4,a+b+c=4\)

可得 \(a=-2,b=1,c=5\)

因此，\(F\,'(x)=-6x^2+2x+5\)

\(\Rightarrow F\,'(2)=-15\)

引用:

原帖由 阿光 於 2012-8-5 07:50 PM 發表
想再請教16和20題 謝謝

#20

2^10*S_30- (2^10+1)*S_20 +S_10=0
整理得2^10*(S_30 -S_20)=(S_20 -S_10)

因為S_n為等比級數,所以,S_10 ,S_20 -S_10 ,S_30-S_20  成等比數列 (公比= 1/2^10)
則S_20 -S_10 = (1/2^10)*S_10

令{a_n}的公比為r
(1/2)*[r^20-1]/[r-1] - (1/2)*[r^10-1]/[r-1] = (1/2^10 ) * (1/2)*[r^10-1]/[r-1]
整理得1024* r^20 -1025*r^10+1=0
r^10=1/1024 或 r^10=1
r=1/2 (1不合)

所求=S_1+2*S_2+3*S_3+...............+n*S_n
=(1-1/2) +2 *[1- (1/2)^2]+3*[1-(1/2)^3]+..............................+n*[1-(1/2)^n]
=(1+2+3+...............+n)- [(1/2)+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+....................+n*(1/2)^n]
=n(n+1)/2  -2 + 1/2^(n-1) +n /2^n

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-8-5 10:47 PM 編輯 ]

第 20 題：

設 \(<a_n>\) 等比數列的公比為 \(r\) 且 \(r>0\)，

令 \(S_{10}=a, r^{10}=t\)，則

\(2^{10}(a+at+at^2)-(2^{10}+1)(a+at)+a=0\)

因為 \(a>0, t>0\)，所以可得 \(\displaystyle t=\frac{1}{1024}\Rightarrow r=\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle\Rightarrow  nS_n=n\cdot\frac{\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{1-\frac{1}{2}}=n-\frac{n}{2^n}\)

因此 \(<nS_n>\) 的前 \(n\) 項和 \(\displaystyle  T_n = \sum_{k=1}^n k S_k = \sum_{k=1}^n\left(k-\frac{k}{2^k}\right)\)

　　　\(\displaystyle  =\sum_{k=1}^n k -\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}\)

　　　\(\displaystyle  =\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}\)

再化簡一下就可以得到標準答案的那個樣子了。


註：最後一行可以參考之前我回覆第 3 題的中間步驟（\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) 代入）。

請教第8題與第21題

#8,二正跟與一負根,請提示一下
     想了幾種方法都無法求出

謝謝

第 8 題：

三次曲線 \(y=x^3+3x^2-24x\) 與水平線 \(y=-a\) 有三個相異交點，

且其中有兩個交點的 \(x\) 坐標為正，一個交點的 \(x\) 坐標為負。

如下圖：

qq.png (7.41 KB)

2012-8-14 15:52

可得 \(-28<-a<0\Rightarrow 0<a<28\)

第 21 題：

\(\displaystyle P(\mbox{丟四顆骰子一次，恰兩顆點數相同}) = \frac{C^4_2 \cdot 6\cdot5\cdot4}{6^4} = \frac{5}{9}\)

\(\displaystyle \Rightarrow P(\mbox{丟四顆骰子一次，沒有恰兩顆點數相同的情況}) = 1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\)

設滿足題述時，最少應投擲 \(n\) 次，則

\(\displaystyle 1-\left(\frac{4}{9}\right)^n>0.9\)


\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{4}{9}\right)^n<0.1\)

兩邊取 \(\log\) 得 \(n>2.xxxxxxx\)

\(\Rightarrow n\) 至少為 \(3\)。

引用:

原帖由 weiye 於 2012-8-14 03:52 PM 發表
第 8 題：

三次曲線 \(y=x^3+3x^2-24x\) 與水平線 \(y=-a\) 有三個相異交點，

且其中有兩個交點的 \(x\) 坐標為正，一個交點的 \(x\) 坐標為負。

如下圖：...

謝謝瑋岳老師

這個解法太漂亮了

趕快記下來

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-8-3 12:31 AM 發表

#12
假設O1(0,0,0) ,O2(2,-5,3) ,令Q點為兩球的外公切平面與直線O1O2的交點,
利用分點公式可得Q(-1,5/2,-3/2),
而P(-1,4,0),則通過PQ的平面族可設 E: (x+1)+k(y-z-4)=0
整理E:x+ky-kz+1-4k=0 ,再利用 d(Q1,E)=1
可 ...

#11
我找到了

弄懂了,謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2012-8-17 02:46 PM 編輯 ]

請問老師:   
           第22題如果我直接算,設a,b,c,d分別為第一次到第四次的骰子點數.
則a+b+c+d<=16,  0<= a,b,c,d  <=6
    a'+b'+c'+d' <= 12,  0<= a',b',c',d'<=5  
則點數和不超過16的結果為 H(512) - 4*H(5,6) = 980
故所求機率為  980/(6*6*6*6) = 490/648  不等於  493/648
請問是哪個步驟出問題了?!  請各位老師協助指正,謝謝!

「容斥原理」，以前叫排容，換個名字也沒有比較好的樣子

a'= 6, b'=6, c'=d'=0

在 H(5,12) - 4*H(5,6) 中

被扣了兩次

所以應該用容斥或排容修正之