感謝瑋岳老師的解答,速度真快,大概知道我錯在哪裡了,非常感謝!

非常感謝各位老師的指導

小弟我獲益良多

冒昧請教一下，第一題答案是3，對否？

謝謝

第 1 題：設 \(A,B,C,D\) 表 \(z^4−z^2+1=0\) 之四根在複數平面上的對應點，又 \(P\) 表複數 \(i\) 在複數平面上的對應點，則 \(\overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}\)＝？

解答：

設 \(f(x)=z^4-z^2+1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)\)

\(\overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}=\left|i-\alpha\right|\cdot\left|i-\beta\right|\cdot\left|i-\gamma\right|\cdot\left|i-\delta\right|\)

　　　　　　　\(=\left|\left(i-\alpha\right)\left(i-\beta\right)\left(i-\gamma\right)\left(i-\delta\right)\right|\)

　　　　　　　\(=\left|f(i)\right|=\left|i^4-i^2+1\right|=3\)

謝謝瑋岳老師^^

重做的時候發現第五題也可以用向量來作
因為AC是直徑，所以
\(\displaystyle \vec{AC} \cdot \vec{AB}=|\vec{AB}|^2 \)
以及
\(\displaystyle \vec{AC} \cdot \vec{AD}=|\vec{AD}|^2 \)
就會得到
\(\displaystyle \frac{3}{2}|\vec{AB}|^2+\frac{5}{2}\vec{AB} \cdot \vec{AD}=|\vec{AB}|^2 \)
\(\displaystyle \frac{3}{2}\vec{AB} \cdot \vec{AD}+\frac{5}{2}|\vec{AD}|^2=|\vec{AD}|^2 \)
整理得
\(\displaystyle \vec{AB} \cdot \vec{AD}=-\frac{1}{5}|\vec{AB}|^2=-|\vec{AD}|^2 \)

又AC=2得到
\(\displaystyle 4=\frac{9}{4}|\vec{AB}|^2+\frac{2}{15}\vec{AB} \cdot \vec{AD}+\frac{25}{4}|\vec{AD}|^2 \)
令\(\displaystyle |\vec{AD}|^2=K \)
則\(\displaystyle |\vec{AB}|^2=5K,\vec{AB} \cdot \vec{AD}=-K \)
\(\displaystyle 4=10K,K=\frac{2}{5} \)
於是
\(\displaystyle |\vec{BD}|^2 \)
\(\displaystyle =|\vec{AD}|^2-2\vec{AB} \cdot \vec{AD}+|\vec{AB}|^2 \)
\(\displaystyle =8K=\frac{16}{5} \)
最後得到
\(\displaystyle BD=\frac{4\sqrt{5}}{5} \)

填充5提供另一個想法
假設AC與BD的交點為O
假設t*向量AC=向量AO=t*(3/2)*向量AB+t*(5/2)向量AD  (t是實數)
因為A-O-C ,所以t*(3/2)+t*(5/2)=1 ,t=1/4
又AC=2,所以AO=2*(1/4)=1/2 ,CO=3/2
且向量AO=(1/4)*向量AC=(3/8)*向量AB+(5/8)*向量AD
所以DO:BO=3:5,令DO=3k,BO=5k(k是正實數)
由圓冪定理得 AO*CO=DO*BO,(1/2)*(3/2)=(3k)*(5k)
解得k=5^0.5/10 ,所求=BD=8k=4*5^0.5/5

填充第九題

答案是a=9/4 b=-19/12 嗎

Yes