感謝兩位!!

填充5
計算\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{n}{(2n+1)^2}+\frac{n}{(2n+2)^2}+\frac{n}{(2n+3)^2}+\ldots+\frac{n}{(2n+n)^2}\right]\)的值為　　　。
[解答]
各項分子分母同除以n=>離曼和的形式

原式=積分從0到1 (2+x)^(-2) dx

第 4 題：
求\(\displaystyle \int_{-2}^2 |\;2+x-\sqrt{4-x^2}|\;dx=\)　　　。
[解答]

qq.png (19.71 KB)

2012-3-29 19:10

綠色區域面積＝\(\triangle ABC\) 的面積＝\(4\)

小弟想請問填充二.1.

我自已的想法是 n+2| 2011-n，得到 n+2|2013，但是要扣掉n+2=1與n+2=2013兩種

2013=3*11*61，所以n+2=3,11,33,61,183,671

所以有6種情況：2011=1+3*671=9+11*182=31+33*60=59+61*32=...=669+671*2

但是因為整個圖形對對角線對稱，每個數應出現兩次，所以2011總共出現12次。但是答案是：6種。

我自己想了一天，不知道某個地方沒想到，請老師們幫我看看，感謝^^。

那六個數字沿對角線對稱之後~ 還是相同的那六個啦，本來就有算到，不需要再乘兩倍。


填充二的第 1 題：

第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元素是 \(2i+(j-1)\cdot(i+1)=(i+1)(j+1)-2\)

若 \((i+1)(j+1)-1=2011 \Rightarrow (i+1)(j+1)=2013=3\cdot11\cdot61\)

因此 \((i+1, j+1)\) 的非負整數解有 \((1+1)(1+1)(1+1)=8\) 組

但因為 \(i,j\) 皆為正整數，所以 \(i+1=1\) 與 \(j+1=1\) 都不合，

所以，共有 \(6\) 組 \((i,j)\) 的正整數解，會使得第 \(i\) 列第 \(j\) 行為 \(2011.\)

原來如此，是我多慮了

感謝瑋岳老師

請問１９９９大陸競賽此題如何解?

引用:

原帖由 mandy 於 2012-4-1 08:44 PM 發表
請問１９９９大陸競賽此題如何解?

令a=5 ,b=4 ,c=3 ,e=c/a=3/5為離心率
假設L:x=-a^2/c為橢圓的左準線
依定義知(1/e)*BF=(5/3)BF=d(B,L)
假設BD垂直L,垂足為D點
當D,B,A為一直線時,(5/3)*BF+BA=DB+BA有最小值
此時B點的y坐標為2,代入x^2/25+y^2/16=1
解得x=-(5/2)*3^0.5
此時B(-(5/2)*3^0.5,2)

感謝Ellipse幫忙解題，我補充書上的解答
給定\( A(-2,2) \)，已知B是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上的切點，F是左焦點，當\( \displaystyle \overline{AB}+\frac{5}{3} \overline{BF} \)取最小值時，求B的坐標
(奧數教程　高二　第15講　二次曲線)