第 2 題
若一個直角三角形的三邊長恰好是方程式\(x^3-30x^2+281x-a=0\)的三個根，其中\(a\)為某實數，試求此直角三角形的面積。
[解答]
令三根為 p、q、r，其中 r 是斜邊長

p^2 + q^2 = r^2
p + q + r = 30
pq + qr + rp = 281

2r^2 = p^2 + q^2 + r^2 = 30^2 - 2 * 281 = 338
r = 13
三邊為 5、12、13


第 4 題
試證明\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{64}+\ldots+\frac{1}{n^3})<1.25\)
[解答]
利用 1/k^3 < 1/[(k - 1)k(k + 1)] = (1/2){1/[(k - 1)k] - 1/[k(k + 1)]}
k 從 2 到 n

111.7.18補充
https://math.pro/db/thread-728-1-1.html

鋼琴老師不好意思 , 我是想問填充題乙部分的(2)(4) , 不過剛好計算4也不會 , 就順便解決了 , 感謝.

唉，年紀大了，有老花 ...


第 2 題
設\(P\)為\(\Delta ABC\)的\(BC\)邊上一點，且\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，若\(\displaystyle\angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=30^{\circ}\)，則\(\overline{PC}=\)　　　。
[解答]
PC = x
AP = √(x^2 - a^2)

△ABC = (1/2) * AB * a * sin120度
△ABP = (1/2) * AB * √(x^2 - a^2) * sin30度

利用 △ABC / △ABP = (x + a) / a 即可求出

113.2.2補充
In the diagram line segments \(AB\) and \(CD\) are of length 1 while angles \(ABC\) and \(CBD\) are \(90^{\circ}\) and \(30^{\circ} \)respectively. Find \(AC\).
(1986Canadian Mathematical Olympiad，https://cms.math.ca/competitions/cmo/)

113.5.13補充
\(\Delta ABC\)中，\(D\)在\(\overline{BC}\)上，其中\(\overline{AB}=\overline{CD}\)，\(\angle CAD=30^{\circ}\)、\(\angle BAD=90^{\circ}\)，則\(secB=\)　　　。
(107北一女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2999&page=1#pid18935)

設\(P\)為\(\Delta ABC\)中\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，\(\displaystyle \angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=\frac{\pi}{6}\)，求\(\overline{PC}=\)　　　
(111家齊高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3626&page=1#pid23850)

第 4 題
已知橢圓：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)過\(P(3\sqrt{3},1)\)其中\(a>0,b>0\)，求\(a+b\)之最小值=　　　。
[解答]
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1072&page=1#pid2814

了解~感謝!!