數列\( \{ a_n \} \)中，已知\( a_1=2 \)，\( a_{n+1}>a_n \)，且\( a_{n+1}^2+a_n^2+4=2a_{n+1}\cdot a_n+4a_{n+1}+4a_n \)，則一般項\( a_n= \)？
[另解]
重新整理得\( a_{n+1}^2-(2a_n+4)a_{n+1}+(a_n^2-4a_n+4)=0 \)
\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{2a_n+4 ±\sqrt{(2a_n+4)^2-4 \cdot 1 \cdot (a_n^2-4a_n+4)}}{2} \)
\( a_{n+1}=a_n+2+2\sqrt{2a_n} \)，\( \sqrt{a_{n+1}}^2-(\sqrt{a_n}+\sqrt{2})^2=0 \)
補充二題
設\( \{ a_n \} \)滿足\( a_1=1 \)，\( 4a_n \cdot a_{n+1}=(a_n+a_{n+1}-1)^2 \)，\( a_{n+1}>a_n \)，求\( a_n \)？
(高中數學競賽教程P324)
其實展開後\( 2a_n \cdot a_{n+1}-1=a_n^2+a_{n+1}^2-2a_n-2a_{n+1} \)和師大附中這題類似
但這題已經配方好了，直接從\( \sqrt{4a_n \cdot a_{n+1}}^2-(a_n+a_{n+1}-1)^2=0 \)著手
設數列\( a_n \)滿足\( a_{n+1}^2+a_{n}^2=2(a_{n+1}\cdot a_n+a_{n+1}+a_{n}) \)，\( a_1=1 \)且\( a_{n+1}>a_n \)。令\( S_n \)表示數列前\( n \)項之和。求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n \cdot a_n}= \)？1/3
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本帖最後由 bugmens 於 2010-7-1 07:55 AM 編輯 ]
