計算 E (1)
用\(|\;S|\;\)表示集合中元素的個數。已知集合\(\displaystyle S=\{\;\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{113} \}\;\)，\(T=\{\;A \subseteq S|\; |\;A|\;=2n,n\in N\}\;\)，試回答下列問題：
(1)\(|\;T|\;=\)？
(2)\(\forall A_i\in T\)，將\(A_i\)中所有的元素相乘的乘積記為\(m_i\)，再將所有的\(m_i\)相加，其和為\(M\)，求\(M\)之值？
[解答]
集合 S 有 112 個元素
集合 T 的元素是集合 S 中含有偶數個元素的子集(不含空集合)
所求 = C(112，2) + C(112，4) + C(112，6) + ... + C(112，112) = 2^111 - 1

謝謝老師們的回答！了解了。

計算E(2)
用\(|\;S|\;\)表示集合中元素的個數。已知集合\(\displaystyle S=\{\;\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{113} \}\;\)，\(T=\{\;A \subseteq S|\; |\;A|\;=2n,n\in N\}\;\)，試回答下列問題：
(1)\(|\;T|\;=\)？
(2)\(\forall A_i\in T\)，將\(A_i\)中所有的元素相乘的乘積記為\(m_i\)，再將所有的\(m_i\)相加，其和為\(M\)，求\(M\)之值？
[解答]

計算C
坐標平面上，若四邊形的四個頂點都在函數\(f(x)\)上，則稱此四邊形為\(f(x)\)的內接四邊形。已知函數\(f(x)=x^3+ax\)的圖形有唯一一個內接正方形，求\(a\)之值為何？
[解答]

請問老師，第一行的r:s怎麼得到的?

可利用二階行列式求平行四邊形面積得出

計算 D (2)
已知一銳角三角形\(\triangle ABC\)之邊長分別為\(a,b,c\)。令\(r\)為\(\triangle ABC\)內切圓之半徑，\(R\)為\(\triangle ABC\)外接圓之半徑，
試證：(1)\(\displaystyle r=4Rsin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)
　　　(2)\(\displaystyle \frac{abc}{\sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\ge\frac{r}{2R}\)
[解答]

已知一銳角三角形\(\triangle ABC\)之邊長分別為\(a,b,c\)。令\(r\)為\(\triangle ABC\)內切圓之半徑，\(R\)為\(\triangle ABC\)外接圓之半徑，
試證：(1)\(\displaystyle r=4Rsin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)
　　　(2)\(\displaystyle \frac{abc}{\sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\ge\frac{r}{2R}\)
[解答]

說明

整理了中二中解答，供參考