引用:

原帖由 joiuk123 於 2025-4-2 15:20 發表
想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。

計算第2題第(2)小題
當a=0時，A=B=1，所以後續僅討論a=0的情形。
首先，求A=的a值限制
A=xf(x)=x=xax2−x+1=0
判別式=(−1)2−4a0，得a41

其次，求A=B的a值限制
B=xf(f(x))=x=x(ax2−x+1)(a2x2+ax+a+1)=0
依a2x2+ax+a+1=0的解情形分類討論：
(1)a2x2+ax+a+1=0有兩相異實根，
　此時係數與ax2−x+1=0成比例，檢查知a無解
(2)a2x2+ax+a+1=0有兩相等實根
　判別式=a2−4a2(a+1)＝0，得a=−43  (代入檢驗符合)
(3)a2x2+ax+a+1=0無實數解
　判別式=a2−4a2(a+1)0，得a−43
故a值的範圍為[−4341]

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-2 20:46 編輯 ]

各位老師好，想請問第4、10、12，謝謝!

填充7 另解

填充10

第 12 題
√[(x - 2)^2 + (y - 1)^2]/(|3x + 4y|/5) = 1/5
表示點 (x，y) 到 (2，1) 的距離/點 (x，y)到直線 3x + 4y = 0 的距離 = 1/5

離心率 e = c/a = 1/5
a = 5c，b^2 = 24c^2

橢圓焦點 (2，1) 到直線 3x + 4y = 0 之距離 = 2
a - c = 2 * 1/6 = 1/3
4c = 1/3
c = 1/12

正焦弦長 = 2b^2/a = 48c^2/(5c) = (48/5)c = 4/5

填充4

謝謝老師的回答，文中的B集合老師是怎麼整理的呢？以下是我剛剛想到的作法（目的是為了湊出A集合內的樣子）

[ 本帖最後由 joiuk123 於 2025-4-3 00:39 編輯 ]

引用:

原帖由 joiuk123 於 2025-4-3 00:21 發表
謝謝老師的回答，文中的B集合老師是怎麼整理的呢？以下是我剛剛想到的作法（目的是為了湊出A集合內的樣子）

因為第(1)小題知，f(x)−x為f(f(x))−x的因式，所以直接用多項式除法，把f(f(x))−x除以f(x)−x。

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 10:35 編輯 ]

引用:

原帖由 joiuk123 於 2025-4-2 15:20 發表
想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。

計算第1題
第(1)題
分別以遞迴關係式化簡左右式
an+2−an+1=(85−21(an+1)2)−an+1=−21(an+1)2−an+1+85
−bn(an+1−an)=−21(an+1+an)(an+1−an)
　　=−21((an+1)2−(an)2)=−21(an+1)2+21(an)2
　　=−21(an+1)2+(85−an+1)=−21(an+1)2−an+1+85

第(2)題
檢查n=1，0a185成立
設n=k成立，即0ak85
化簡，得85−21(85)285−21(ak)285−02
即055128ak+185
所以n=k+1成立
由數學歸納法得證

第(3)題
因為an+1−an=85−21(an)2−an=−21(an−21)(an+25)
又由(2)知，25an+25825
所以45an−21an+1−an1625an−21
故an−21an+1−an


第(4)題
因為an+1−21=85−21(an)2−21=−21(an−21)(an+21)
又由(2)知，21an+2189
所以an+1−21916an−21
故an−21會收斂到0，即an收斂到21


若有疏漏、誤植，再請提醒指正。感謝

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 09:24 編輯 ]

請問第9題
如果把已知條件當中的
|x|=|y|=|z|
換成是x^2+y^2+z^2=9/4+sqrt(15)/2*i，
有辦法搭配另外兩個條件證明 |x|=|y|=|z| 嗎？