第 12 題 另解
AC/sin45∘= AB/sin75∘
AC = 6√3 - 6

作 DM 垂直 AC 於 M，作 FN 垂直 AC 於 N
易知 △DMG 和 △GNF 全等

設 MG = NF = x
CN = tan15∘* NF = (2 - √3)x
AM = 1，DM = GN = √3

MG + CN = AC - AM - GN
x + (2 - √3)x = 6√3 - 6 - 1 - √3
(3 - √3)x = 5√3 - 7
x = (5√3 - 7)/(3 - √3)

ABCD = DG^2 = x^2 + 3 = [(5√3 - 7)/(3 - √3)]^2 + 3 = (28 - 8√3)/3

請教填充7,11

7.關鍵在於三側面夾角相同=>頂點投影為內心。其他應該都不是問題
方程可得b+c=8，bc=28/3
a^2=b^2+c^2-2bccosA=(b+c)^2-3bc=36
=>a=6
rs=bcsinA
=>r=3^(-0.5)
=>h=1/3
=>V=1/3 *h *1/2 *bcsinA

第 11 題
作 AF 垂直 DE 於 F

△PAF 中，PA = 4、PF = √3、AF = √7
cos∠PAF = (5/14)√7，sin∠PAF = (1/14)√21
P 到直線 AF 的距離 = (1/14)√21 * 4 = (2/7)√21

△PAE 中，PA = 4、PE = 2、AE = 2√2
cos∠PAE = (5/8)√2，sin∠PAE = (1/8)√14
P 到直線 AE 的距離 = (1/8)√14 * 4 = (1/2)√14

所求 sinθ = P 到直線 AF 的距離 / P 到直線 AE 的距離 = (2/7)√21 / (1/2)√14 = (2/7)√6

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請教老師們第9題，謝謝!

第 9 題
疊合後 = 1 + 3√2sin(x + (5/12)π) - √2sin(3x + (1/4)π)
微分後 = 3√2cos(x + (5/12)π) - 3√2cos(3x + (1/4)π) = 0
可求出 x = (1/3 + 2k)π 或 (-1/6 + 2k)π 時，有最大值 5

了解，謝謝鋼琴老師~

計算2
以下為硬爆做法，還請各位老師指教
由\(\displaystyle P(X=k)>P(x=k+1),P(X=k)>P(X=k-1)\)

列出式子如下
\(\displaystyle (r-k)(m-k)<(k+1)(n-r+k+1) \Rightarrow \displaystyle k>\frac{rm+r-n-1}{m+n+2}\)

\(\displaystyle k(n-r+k)<(m-k+1)(r-k+1) \Rightarrow \displaystyle k<\frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}\)


可得\(\displaystyle   \frac{rm+r-n-1}{m+n+2}<k<\frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}\)

且\(\displaystyle \frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}-\frac{rm+r-n-1}{m+n+2}=1\)

因此若\(\displaystyle \frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}\notin \mathbb{N}\)

\(\displaystyle k=[\frac{(m+1)(r+1)}{m+n+2}]\)

計算3

證明對於任意的\(a_n , n\in \mathbb{N}\)皆有界，令\(a_n \leq2\)

設\(n=k\)時，\(a_k\leq2\)成立

則\(\displaystyle a_{k+1}\leq \frac{-3+\sqrt{25+4a_n}}{2}\leq\frac{-3+\sqrt{33}}{2}\leq 2\)

由數學歸納法，原命題成立



證明數列為遞增，即\(a_{n+1}>a_{n}\)

設\(n=1,.2,3.\cdots k\)時，\(a_{n+1}>a_{n}\)皆成立

則\(\displaystyle a_{k+2}-a_{k+1}= \sqrt{25+4a_{k+1}}-\sqrt{25+4a_k}=\displaystyle \frac{4(a_{k+1}-a_k)}{\sqrt{25+4a_{k+1}}+\sqrt{25+4a_k}}>0\)

由數學歸納法，原命題成立

因為該數列遞增且有界，故收斂

設收斂值為\(a\)

有\(a^2+3a-4= a \Rightarrow a = \displaystyle -1+\sqrt{5}\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-4-5 10:46 編輯 ]