填充12
y=18/(25x) 是一個雙曲線，第一個不等式得知要同時在 y=x 或 y=18/(25x) 的上方或下方（可用ggb或desmos畫畫看）
第二個不等式得知在園內或邊界上
透過線性規劃可知答案要取通過圓和雙曲線的點（看不出來的話就把直線和圓的交點也算出來比大小）
令x=1+cost,y=1+sint 代入xy=18/25 得到 sint*cost+sint+cost=-7/25（其實到這一步可以猜答案了，猜不到就繼續算）
令sint+cost=k,此時sint*cost=(k^2-1)/2 解 k再回來解 sint, cost 即可

引用:

原帖由 Superconan 於 2025-3-8 09:49 發表
請教填充1，f(x) 並沒有定義它是多項式函數，要怎麼確定這件事？

等式左右對x微分, 就可以知道了

7. 不太聰明的方法，可能也有一點敘述不清，還請指教
考慮 x0 的情況，兩圖形要有3交點
首先畫圖易知f(0)=6a2−80，即a234
又因為f(x)必定通過原點，所以只要滿足上述條件並且保證讓f(x)與y=x+2有非相切的交點即可
考慮f(x)=x3−3a2x 與 g(x)=x+2需要有兩個交點

x3−(3a2+1)x 的極大值為332(3a2+1)3a2+12
解得a232
故32a234 ，所以36a323 

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-8 11:13 編輯 ]

想詢問填充6,11,14 謝謝

計算第 1 題
x^2/9 + y^2/5 = 1
a = 3，b = √5，c = 2
F_1(-2，0)、Q(-9/2，0)，B(x，y)
y^2 = 5 - (5/9)x^2

x = -9/2 是橢圓的準線
作 BP 垂直 x = -9/2 於 P
則 BF_1/BP = c/a = 2/3
BP = x + 9/2，BF_1 = (2/3)x + 3，PQ = -y

QB⊥AB
QF_1^2 - BF_1^2 = BQ^2 = BP^2 + PQ^2
(5/2)^2 - [(2/3)x + 3]^2 = (x + 9/2)^2 + [5 - (5/9)x^2]
x = -21/8 or -12(不合)

B(-21/8，-(5/8)√3)

直線 L 之斜率為 √3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 11:52 編輯 ]

11.設g(x)=f(x+2)−2，h(x)=f(2x+1)
因為g(x)為奇函數，可以得到f(x+2)+f(−x+2)=4
因為h(x)為偶函數，可以得到f(2x+1)=f(−2x+1)

由奇函數的條件，有
f(2)=f(0)
f(3)=f(−1)
f(4)=f(−2)...
由偶函數的條件
f(3)+f(1)=4
f(4)+f(0)=4f(4)+f(2)=4
f(5)+f(−1)=4f(5)+f(3)=4

因此f(1)f(2)f(2025)每四個一組為一循環
f(1)=0f(2)=2f(3)=4f(4)=2f(2025)=0
為8506=4048

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-8 13:44 編輯 ]

第 14 題
已知函數f(x)=x2−x+2x4−6x2+8x+16 在x=a時有最小值m，則數對(am)=　　　。
[解答]
f(x) = x^2 - x + √(2x^4 - 6x^2 + 8x + 16)
= √2{|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]}

|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]
即 y = x^2 上一點 A(x，x^2) 到直線 y = x 之距離與到 B(-2，2) 之距離和
點 A 為 y = -x 與 y = x^2 之交點
最小值為 OB = 2√2

m = 4

-x = x^2，x = 0 or -1

所求為 (0，4) or (-1，4)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 13:54 編輯 ]

第 6 題
如圖，上底 6，下底 1，腰長 x 之等腰梯形
紅高 = (√3/2) * 6 - x - (√3/2) * 1 = (5/2)√3 - x

((5/2)√3 - x)^2 + (5/2)^2 = x^2
x = 5/√3

三角錐之高 = √[(5/√3)^2 - (√3/3)^2] = 2√2

三角錐之體積 = (1/3) * (√3/4) * 2^2 * 2√2 = (2/3)√6

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 17:16 編輯 ]

填充6
請教piano老師，這裡的式子為何多需要除以2

抱歉，複製貼上時錯誤，已更正。