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(解一)
由\( x+y+z=3 \)可得\( x+y=3-z \)，是故目標函數可改寫為\( x+y-2z=3-3z \)，因此專注在\( z \)的最大最小值上。
再來就老梗了，移項->柯西不等式->多項式不等式。
由\( x+y=3-z、x^2+y^2=9-z^2 \)可得\( (x^2+y^2)(1^2+1^2) \ge (x+y)^2 \)，因此\( (9-z^2)(2) \ge (3-z)^2 \)
化簡得 \( 0 \ge z^2-2z-3\)，即\( 0\ge (z+1)(z-3) \)，故z的最大值為3，最小值-1，因此所求最大值為6，最小值為-6
(解二) Lagrange multiplier
定義 \[ \nabla f=(\partial_x f,\partial_y f,\partial_z f) \]。
設\( f(x,y,z)=x+y+z-3、g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9、h(x,y,z)=x+y-2z \)。因為h函數的極值會發生在邊界上，所以我們會有\( \nabla h=\alpha \nabla f+ \beta \nabla g\)
可以得到\[ \left\{
\begin{array}{c}
\alpha+2\beta x=1 \\
\alpha+2\beta y=1\\
\alpha+2\beta z=-2
\end{array}
\right.\]
三式相加再搭配邊界條件\( x+y+z=3 \)，可得\( 0=3\alpha +2\beta (x+y+z) \)，即\( \alpha=-2\beta \)，是故
\[ x=\frac{\alpha-1}{\alpha}、y=\frac{\alpha-1}{\alpha}、z=\frac{\alpha+2}{\alpha} \]
代入另一個邊界條件\( x^2+y^2+z^2=9 \)，(計算過程懶得打了)，可得\( \alpha = 1 or -1\)。
當 \( \alpha=1 \) 時\(x=0,y=0,z=3 \)，目標函數有最小值 \( h(0,0,3)=-6 \)。
當 \( \alpha=-1 \) 時\(x=2,y=2,z=-1 \)，目標函數有最大值 \( h(2,2,-1)=6 \)。
[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-5-28 22:48 編輯 ]
