引用:

原帖由 std310185 於 2024-4-26 09:22 發表

版上老師好，小弟想問一下5跟13，感謝感謝

#5上面已答

#13
利用題目數據
可令f(c)=abc=c^3-5c^2+7c
f '(c)=3c^2-10c+7
當f '(c)=0,c=1或7/3
[且由柯西不等式得(a^2+b^2)(1+1)>=(a+b)^2
2(11-c^ 2)>=(5-c)^2,
3c^2-10c+3<=0,1/3<=c<=3 ]
又f(1/3)=(1/3)^3-5(1/3)^2+7*(1/3)=49/27
f(1)=1-5+7=3
f(7/3)=(7/3)^3-5(7/3)^2+7*(7/3)=49/27
f(3)=27-45+21=3
所求=M+m=3+49/27=130/27

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-26 13:28 編輯 ]

第 13 題
a + b + c = 5
b + c = 5 - a

ab + bc + ca = a(5 - a) + bc = 7
a^2 - 5a + 7 = bc ≦ [(b + c)/2]^2 = [(5 - a)/2]^2
1/3 ≦ a ≦ 3

abc = a(a^2 - 5a + 7) = a^3 - 5a^2 + 7a
f(a) = a^3 - 5a^2 + 7a
f'(a) = 3a^2 - 10a + 7 = (a - 1)(3a - 7) = 0
a = 1 or 7/3

f(1) = 3，f(7/3) = 49/27
f(3) = 3，f(1/3) = 49/27

M + m = 3 + 49/27 = 130/27

感謝鋼琴老師回答，我小菜雞一枚
想問說老師您中間有用到算幾   --  bc <= [(b+c)/2]^2  
但題目沒提到說b c為非負實數，這樣沒關係嗎@@?!
再次感謝鋼琴老師!

別這樣說，有疑問是好事，錯了就修正

[(b + c)/2]^2 - bc
= (b^2 + 2bc + c^2)/4 - bc
= (b - c)^2/4
≧ 0

想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那裡思路有誤?

答案有誤

引用:

原帖由 Hawlee 於 2024-4-26 14:16 發表
想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那 ...

謝謝老師
另外想再請問計算一

引用:

原帖由 Hawlee 於 2024-4-26 14:16 發表
想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那 ...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-26 22:55 編輯 ]

喔喔看懂了，謝謝

另外還想再請問填充15，17，謝謝

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2024-4-27 02:26 編輯 ]