喔喔，看出來了非常感謝!

想問填充11

第 11 題
S_1 = a_1 是 6 的倍數之機率 = 1/6

S_2 = S_1 + a_2 是 6 的倍數之機率 = S_1 * (1/6) + (1 - S_1) * (1/6) = 1/6
第 1 個 1/6 是 a_2 = 6 之機率
第 2 個 1/6 是當 S_1 ≡ 1 (mod 6)，a_2 ≡ 5 (mod 6) 的機率，S_1 ≡ 2 (mod 6)，a_2 ≡ 4 (mod 6) 的機率，依此類推 ...

S_n 是 6 的倍數之機率都是 1/6
所求 = 113/6

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-16 11:08 編輯 ]

請教第4題、第14題的做法，謝謝

[ 本帖最後由 JJM 於 2024-4-16 13:10 編輯 ]

第 4 題
定座標 A(1，0)、B(-1/2，√3/2)、C(cosθ，sinθ)，0 ≦ θ ≦ (2/3)π
cosθ = x - y/2
sinθ = (√3/2)y

x - y = cosθ - (1/√3)sinθ
剩下的就簡單了


第 14 題
z_1 = a + bi，z_2 = c + di

a + 2c = 0
b - 2d = -1
ac - bd = -3
ad + bc = 1

a = -2c 和 b = 2d - 1 代入後兩式
可解出 (a，b，c，d) = (2，1，-1，1) or (2，-2，-1，-1/2)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-16 16:02 編輯 ]

懂了，謝謝老師！

想請教113武陵高中計算題2，感謝老師。

計算第 2 題
先證 a^3 + b^3 ≧ a^2b + ab^2
輪換的三式相加後，可得
2(a^3 + b^3 + c^3) ≧ a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2
3(a^3 + b^3 + c^3) ≧ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2)
(a^3 + b^3 + c^3)/(a^2 + b^2 + c^2) ≧ (1/3)(a + b + c)
輪換的四式相加後，可得題目要證的不等式

引用:

原帖由 aizin 於 2024-4-16 22:41 發表
想請教113武陵高中計算題2，感謝老師。

某年能力競賽題目
另證明: (大同小異的證法)
利用兩次科西不等式得
(a^3+b^3+c^3)/(a²+b²+c² )≧(a²+b²+c² )/(a+b+c)≧(a+b+c)/3
再做其他三式輪換,相加可證得

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-17 00:26 編輯 ]

試著整理填充題解答 供參
https://drive.google.com/file/d/ ... view?usp=drive_link

[ 本帖最後由 ruee29 於 2024-4-20 12:22 編輯 ]