已知等軸雙曲線\(\Gamma\)：\(x^2-y^2=a^2(a>0)\)上一定點\(P(x_0,y_0)\)及雙曲線\(\Gamma\)上兩動點\(A,B\)滿足\((\vec{OA}+\vec{OP})\cdot (\vec{OB}+\vec{OP})=0\)(其中\(O\)為坐標原點)。
(1)證明：\(\overline{PA}\perp \overline{PB}\)；
(2)求\(\overline{AB}\)的最小值。

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-5-30 21:25 發表

tsusy解的是填五~ 他問填六

看錯題，SORRY

另外，證明2.

當 \( A \) 為 \( (-x_0, -y_0) \) 時，此時 \( B \) 可為此雙曲線上的任一點 (題目有瑕疵)
此時 (1) 不一定垂直 (2) AB的距離可以任意接近 0

請問填充1的作法?  不知該如何下手

填充第 1 題
滿足\([\log\sqrt{n}]=[\sqrt{\log n}]\)的最大正整數\(n\)為　　　。
[解答]
[log√n] = [√logn] = k

k <= log√n < k + 1
2k <= logn < 2k + 2

k <= √logn < k + 1
k^2 <= logn < k^2 + 2k + 1

當 k = 0 ~ 2 時，兩不等式有交集
當 k = 3，n >= 10^6 時，兩不等式無交集
故所求為 999999

感謝鋼琴大大回覆~~~

引用:

原帖由 thepiano 於 2023-7-1 16:51 發表
填充第 1 題
[log√n] = [√logn] = k

k