計算 2.
已知對於每一個正整數\(n\)，有\(a_n>0\)且\(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^3=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2\)，試證：\(a_n=n\)。
[解答]
以數學歸納法證明 \( a_n = n \) 均成立。
當 \( n=1 \) 時，易得  \( a_1 = 1 \)

假設 \( n \le k \) 時，\( a_n = n \) 均成立，其中 \( k \) 為某正整數

將左式記作 \( L_n \), 右式記作 \( R_n \)

則當 \( n = k+1 \)  時
\( L_{k+1} - L_{k} = R_{k+1} - R_{k} \)
\( \Rightarrow a_{k+1}^3 = a_{k+1} (a_{k+1} + n(n+1)) \)
\( \Rightarrow a_{k+1}(a_{k+1} - k-1)(a_{k+1}+k) = 0 \)
因 \( a_{k+1} > 0 \)，故 \( a_{k+1} = k+1 \)

由數學歸納法得，\( a_n = n \) 對所有正整數 \( n \) 均成立

第二部分 第 8 題
現有編號1、2、3、…、9的卡片9張，甲從其中任選3張，乙再從剩下的卡片選3張，並且依下列規則比大小：
第一回合：兩人手中最大號碼的卡片比較數字大小；
第二回合：兩人手中第二大號碼的卡片比較數字大小；
第三回合：兩人手中最小號碼的卡片比較數字大小；
每回合數字大者該回合獲勝，三回合獲勝較多者為贏家。則甲有兩回合獲勝的情況有　　　種。
[解答]
從 9 張牌中取 6 張牌有 C(9，6) = 84 種方法
3 張給甲，3 張給乙

取出的 6 張牌可由小到大排列

設取出的 6 張牌為 1、2、3、4、5、6
有以下 5 種情形，甲有兩回合獲勝

甲：6、5、1
乙：4、3、2

甲：6、4、1
乙：5、3、2

甲：6、3、2
乙：5、4、1

甲：5、4、3
乙：6、2、1

甲：5、4、2
乙：6、3、1

所求 = 84 * 5 = 420

看來我排組需要再加強，謝謝兩位老師的回應

第二部分，第 8 題，這裡我覺得有趣的地方是
甲三回合獲勝、二回合獲勝、一回合獲勝、零回點獲勝的情況數是一樣多的
也就全部情況數四分之一，即 \( C^9_3C^6_3\cdot \frac14 = 420\)

謝謝解惑~
考試太急忘了連一次項的6a一起處理

請教填充第二部分的第 6 題

第二部分，第6題
已知\(\Delta ADO\)、\(\Delta OBC\)皆為正三角形，\(\overline{AO}=2\)、\(\overline{BO}=4\)且\(D\)、\(O\)、\(B\)三點共線，\(M\)、\(N\)、\(P\)分別為\(\overline{AO}\)、\(\overline{BO}\)、\(\overline{DC}\)中點，則\(\Delta MNP\)面積=　　　。
[解答]
先將三角形切成三個部分，再利用共用底邊、共用高或共用頂角的方式及線段長比，計算面積比

\( \triangle OMN+\triangle ONP+\triangle OPM \)
\( =\frac{1}{4}\triangle OAB+\frac{1}{3}\triangle PBD+\frac{1}{6}\triangle PCA \)
\( =\frac{1}{4}\triangle OAB+\frac{1}{6}\triangle CBD+\frac{1}{12}\triangle DCA \)
\( =\frac{1}{4}\cdot2\sqrt{3}+\frac{1}{6}\cdot6\sqrt{3}+\frac{1}{12}\cdot3\sqrt{3}=\frac{7}{4}\sqrt{3} \)

填充第二部分的第 6 題
已知\(\Delta ADO\)、\(\Delta OBC\)皆為正三角形，\(\overline{AO}=2\)、\(\overline{BO}=4\)且\(D\)、\(O\)、\(B\)三點共線，\(M\)、\(N\)、\(P\)分別為\(\overline{AO}\)、\(\overline{BO}\)、\(\overline{DC}\)中點，則\(\Delta MNP\)面積=　　　。
另解

謝謝！看懂了！
不過想請問最後的面積，是用 1/2 ab sinθ 算出來的嗎？（聽說這題好像國中生就可以解

角度到處都是 60°, 120°，國中生畫個高，也是可以算

樓樓上坐標、向量做起來超快