3.
\(\displaystyle a>\frac{1}{2}\)，拋物線\(y=ax^2+2\)之頂點為\(V\)且與\(y=-x+4a\)相交於\(B\)、\(C\)兩點。已知\(\Delta VBC\)面積為\(\displaystyle \frac{72}{5}\)，試求\(a\)之值。
[解答]
令\(x_1,x_2\)為\(ax^2+2=-x+4a\)的兩根，\(B(x_2,-x_2+4a),C(x_1,-x_1+4a)\)
兩根和\(\displaystyle \frac{-1}{a}\)   兩根積\(\displaystyle \frac{-4a+2}{a}\)
而\(\displaystyle \frac{72}{5}=\frac{1}{2}|\left |\begin{array}{cccc}
0 &x_2  & x_1&0 \\
2 &-x_2+4a &-x_1+4a& 2  \\
\end{array}\right||\)
\(=|2(x_1-x_2)-4a(x_1-x_2)|=|(2-4a)(\sqrt{\frac{1+16a^2-8a}{a^2}})|\)
因為\(\displaystyle a>\frac{1}{2}\)
所以
\(\displaystyle \frac{144}{5}=|(2-4a)(\frac{4a-1}{a})|=(4a-2)(\frac{4a-1}{a})\)
剩下就是解\(a\)

感謝~

請問第12題
答案只有4x-3y=0，但我算出另一個答案3x+4y=0，為什麼是不合的?

您要寫一下您的算法，才知道問題所在

12.
在座標平面上，已知\(\displaystyle A=\frac{1}{25}\left[\matrix{-7&24\cr 24&7}\right]\)是以直線\(L\)為鏡射軸的鏡射矩陣，試求鏡射軸\(L\)的直線方程式　　　。
[疑問]
從鏡射矩陣可得\(\cos 2\theta=\displaystyle\frac{-7}{25}\)，\(\sin 2\theta=\displaystyle\frac{24}{25}\)
\(\Rightarrow \tan 2\theta=\displaystyle\frac{-24}{7}\)，再由\(\tan\)的二倍角公式\(\displaystyle\frac{-24}{7}=\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)
就計算出\(\tan\theta=\displaystyle\frac{4}{3},\frac{-3}{4}\)

不過答案只給4x-3y=0，不知道3x+4y=0是哪裡不合呢？謝謝

由 \(\displaystyle \cos 2\theta=\frac{-7}{25}\) 及 \(\displaystyle \sin 2\theta=\frac{24}{25}\)，可推得 \(\displaystyle \tan 2\theta=\frac{-24}{7}\) 。

但是 \(\displaystyle \tan 2\theta=\frac{-24}{7}\) 卻無法推得 \(\displaystyle \cos 2\theta=\frac{-7}{25}\) 且 \(\displaystyle \sin 2\theta=\frac{24}{25}\)，

因為還可能是 \(\displaystyle \cos 2\theta=\frac{7}{25}\) 且 \(\displaystyle \sin 2\theta=\frac{-24}{25}\)。

猶如 \(x=1 \Rightarrow x^2=1\)（增根了），但 \(x^2=1\) 無法推得 \(x=1\)。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

可取平面上異於原點的任一點，例如取 \(P(1,0)\)，

則鏡射後的點為 \(\displaystyle AP = \left(\frac{-7}{25}, \frac{24}{25}\right)\)，

得兩者的中點 \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(P+AP\right) = \left(\frac{9}{25}, \frac{12}{25}\right)\) 必落在鏡射軸 \(L\) 上，

又 \(L\) 通過原點 \(\displaystyle \left(0,0\right)\)，得鏡射軸 \(L\) 的方程式為 \(4x-3y=0\) 。

補充：或是半角公式 \(\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin2\theta}{1+\cos2\theta} = \frac{1-\cos2\theta}{\sin2\theta}\) 也可以。

原來如此，謝謝鋼琴老師跟瑋岳老師

版上老師好  請問第13題 要求a(12,24)的數字  為何?

小弟用笨方法一個一個排   或是用(1+2+3+...+35)=630  在倒回算23個 (a(35,1)到a(12,24差了23個數)

630-23=607   一直算不出答案的598不知到哪裡想錯了

5樓已有老師這樣算: (1+2++31+32+31+30+29)−9=598
請注意,被加數中最大只有到32,因為題目是A32方陣;
而你的算式: (1+2+3+...+35)=630 被加數中有3個超過32了,這是A無限大方陣!!
詳解如下:
將此題視作函數對應 f( i, j )=n, 直線Lm包含所有 i+j = m+1 之點.
i+j=2, L1: f(1,1)=1
i+j=3, L2: f(2,1)=2, f(1,2)=3
i+j=4, L3: f(1,3)=4, f(2,2)=5, f(3,1)=6
.....
f(12,24) , 即 i+j=36, 在L35上
L34最大函數值=1+2+...+32+(31+30)=589
i+j=36, L35: f(4,32)=590, f(5,31)=591, ...
f(12,24)=590+(12-4)=598

原來是超過32了   感謝老師講解