第 9 題
設\(i=\sqrt{-1}\)，複數\(\displaystyle z=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{10}\)，若\(\displaystyle \sum_{k=n}^{\infty}|\;z^{k+1}-z^k|\;<10^{-20}\)，則最小自然數\(n=\)　　　
[解答]
Σ|z_(k+1) – z_k|
= Σ|z|^k * |z – 1|
= Σ(3/5)^k * (7/5)
= (5/2)(3/5)^n * (7/5)

(3/5)^n * (7/2) < 10^(-20)
剩下的就簡單了

謝謝鋼琴老師！

請教填充16 & 計算2 (1)

計算2 (1)
設\(f(x)=ax^2+bx+c\)為二次實係數多項式，若\(\alpha,\beta\)為\(f(x)=0\)之二實根，且\(\alpha<\beta\)。
而\(g(x)\)領導係數為\(-1\)的三次實係數多項式，且\(g'(\alpha)=g'(\beta)=0\)，則：
(1)若函數\(y=f(x)\)在\(x=2\)有極值為\(-9\)，且\(y=f(x)\)與\(x\)軸所圍成的封閉區域面積為36，試求二次函數\(f(x)\)。
(2)承(1)，若函數\(y=g(x)\)的圖形通過坐標原點，且函數\(y=g(x)\)在區間\([-1,0]\)與\(x\)軸圍成的圖形為\(R\)。若將\(R\)繞\(x\)軸旋轉一圈，試求所得到的旋轉體體積。
[解答]
令 f(x) = a(x - 2)^2 - 9 = ax^2 - 4ax + (4a - 9)
令 f(x) = 0 之兩根為 2 - k 和 2 + k
(2 - k)(2 + k) = (4a - 9)/a
ak^2 = 9

∫[ax^2 - 4ax + (4a - 9)]dx (從 2 - k 積到 2 + k) = -36
(2/3)ak^3 - 18k = -36
6k - 18k = -36
k = 3
a = 1

所求 f(x) = x^2 - 4x - 5

第 16 題
設\(A(-1,1,3)\)、\(B(1,2,3)\)、\(C(2,0,4)\)、\(D(1,1,1)\)，若平面\(E\)包含\(\overline{AB}\)，且將四面體\(ABCD\)切成兩部分，當平面\(E\)與四面體所截出的截面\(PAB\)的面積有最小值，點\(P\)的坐標為　　　
[解答]
截面積最小，表示 CD 上的點 P 到 AB 的距離最小
設 PQ 垂直 AB 於 Q
P(2 + t，-t，4 + 3t)、Q(1 + 2s，2 + s，3)
PQ^2 = (t - 2s + 1)^2 + (-t - s - 2)^2 + (3t + 1)^2
= 11t^2 - 2st + 5s^2 + 12t + 6
= 5(s - t/5)^2 + (54/5)(t + 5/9)^2 + 8/3
t = -5/9，s = -1/9 時，PQ 有最小值
此時 P(13/9，5/9，7/3)

感謝鋼琴老師指導

請教老師們填充#11。

填充 #11

原來如此！非常謝謝Lopez老師的解答！