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17.
對於二次曲線，下列敘述何者正確？(全對才給分)
(1)一動圓與直線\(L\)：\(x=-4\)相切且與圓\(C\)：\(x^2+y^2-6x+5=0\)外切，則此動圓圓心軌跡方程式為一拋物線
(2)一動圓過定點\(A(0,4)\)與圓\(C\)：\(x^2+(y+2)^2=4\)相切，則此動圓圓心軌跡為一橢圓
(3)一動圓過定點\(A(0,4)\)與圓\(C\)：\(x^2+y^2=25\)相切，則此動圓圓心軌跡為一雙曲線
(4)若一雙曲線之一支恰與一拋物線共頂點且共焦點，則此雙曲線的正焦弦長，必大於此拋物線的正焦弦長
(5)與圓\(C_1\)：\(x^2+(y-2)^2=1\)外切且與圓\(C_2\)：\(x^2+y^2=49\)內切之動圓\(C\)的圓心軌跡為一橢圓
[選項4解答]
令雙曲線的貫軸長，共厄軸長，兩焦點距離分別為\(2a,2b,2c\)
所以雙曲線正交弦長為 \(\frac{2b^2}{a}\)；拋物線正焦弦長為\(4(c-a)=4\sqrt{a^2+b^2}-a\)。
比大小:\(\displaystyle \frac{2b^2}{a}-4(\sqrt{a^2+b^2}-a)=2\frac{2a^2+b^2-2a\sqrt{a^2+b^2}}{a}\)
由算幾不等式知
\(2a\sqrt{a^2+b^2}\leq 2a^2+b^2\) 等號不成立
因此 \(\displaystyle \frac{2b^2}{a}-4(\sqrt{a^2+b^2}-a)=2\frac{2a^2+b^2-2a\sqrt{a^2+b^2}}{a}>0\)
故此選項正確
