如果a,b擴展到所有的整數.....
當a,b至少一個是0時，原式等於a^2或b^2，確是完全平方數，這是trivial解
當a,b皆為負整數時，因為負負得正，所以原式與a,b皆為正整數時的值一樣；若「a,b皆正」正確，則「a,b皆負」必然也正確
當(a,b)為(1,-1)或(-1,1)時，原式分母為0，無意義
當a,b一正一負且a*b≦-2時，原式是負數，所以不會有正整數解，當然也不會是完全平方數

所以只要限定a,b皆為整數，且a*b≧0即可，不一定要兩數皆正

感謝您,[(2m)^2+(8m^3)^2]/[(2m)(8m^3)+1]=(2m)^2,只要k給定任意偶數的平方,a,b都一定有正整數解,本來想要再請問若k給定任意奇數的平方,那a,b也都一定有正整數解嗎?  
例如給定k=3^2,則可找到a=3,b=27,使 (3^2+27^2)/(3*27+1)=3^2
後來發現,其實在(a^2+b^2)/(ab+1)=k中,我們只要令a^2/ab=b^2/1,即a=b^3,就可以得到k=(a^2+b^2)/(ab+1)=a^2/ab=b^2/1=b^2,
當然b要成為任何的奇數或偶數都是沒有問題的.
例如給定k=7^2,那麼a=7^3 ,b=7 就會是一組整數解.
       給定k=18^2,那麼a=18^3 ,b=18 就會是一組整數解.

引用:

原帖由 laylay 於 2021-11-22 11:20 發表 若k給定任意奇數的平方,那a,b也都一定有正整數解嗎?

其實做法一樣

令 (a^2 + b^2) / (ab + 1) = k，其中 k 是完全平方數

取 a = 2m - 1，其中 m 是正整數

整理可得 b^2 - (2m - 1)kb + ((2m - 1)^2 - k) = 0

b = {(2m - 1)k + √[(2m - 1)^2k^2 - 4((2m - 1)^2 - k)]} / 2 (取其較大的根就好)

最後再取 k = (2m - 1)^2

此時 b = (2m - 1)k = (2m - 1)^3

即可證明若 k 給定任意奇數的平方，a 和 b 仍有正整數解

引用:

原帖由 laylay 於 2021-11-22 11:20 發表
後來發現,其實在(a^2+b^2)/(ab+1)=k中,我們只要令a^2/ab=b^2/1,即a=b^3,就可以得到k=(a^2+b^2)/(ab+1)=a^2/ab=b^2/1=b^2,
當然b要成為任何的奇數或偶數都是沒有問題的.

這種超強的觀察力，小弟是沒有的

謝謝,把題目改成(a^3+b^3)/(ab+1)=k,令k=a^3/(ab)=b^3/1=b^3,此時a=b^2,
也就是k為立方數時a,bㄧ定有整數解,本來想問a,b,k都為整數時,k一定為立方數嗎?
後來卻發現令b=1,則k=(a^3+1)/(a+1)=a^2-a+1不一定為立方數.
把題目改成a,b,k為正整數,且(a^4+b^4)/(ab+1)=k,請大家來研究一下正整數的k到底有何特色呢?
我除了a=n^3,b=n^5,k=n^12的解之外就只找到(a,b,k)=(3,11,433),(8,12,256)的解了.

(a^4+b^4)/(ab+1)=k
(a,b,k)=(2,128,1044496), (3,64,86929), (8,84,73984), (16,40,4096)
看不出有什麼規則