複選題9.
若2ab+c=2ba−c=2ca−b，求aa+b+c的值？(A)1　(B)−1　(C)21　(D)−21
[解答]
給老師您參考(多選九)
2ab+c=2ba−c=2ca−b=2a2a+2b+2c=aa+b+c=t
b+c=2ata−c=2bta−b=2ct
(−2t)a+b+c=0a+(−2t)b−c=0a−b−(2t)c=0
除了(000)以外還有其他解(分母abc=0)
=−2t111−2t−11−1−2t=0
(t+1)(8t2−8t+2)=0
t=−1或21

有誤再請各位大師鞭策

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2018-5-17 00:15

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2018-5-17 00:15 編輯 ]

謝謝阿基鴻德老師

請教填充2，謝謝

填充2.
有一數列an，若a1=0，且an+1−1=an+21+an ，n=123，求a30=　　　。
[解答]
\begin{align}   & {{a}_{n+1}}-1=a{}_{n}+2\sqrt{1+{{a}_{n}}} \\ & {{a}_{n+1}}+1=a{}_{n}+1+2\sqrt{1+{{a}_{n}}}+1={{\left( \sqrt{a{}_{n}+1}+1 \right)}^{2}} \\ & {{\left( \sqrt{a{}_{n+1}+1} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{a{}_{n}+1}+1 \right)}^{2}} \\ & \sqrt{a{}_{n+1}+1}=\sqrt{a{}_{n}+1}+1 \\ & \cdots \cdots  \\ \end{align}

謝謝piano老師，這技巧趕快記下來

複選題 9 另解:  重複利用"加比"

令  (b+c) /2a = (a-c) /2b = (a-b) /2c = k，則所求 a /(a+b+c) = k

1. 若 a+b 與 a+c 不全為 0，則利用第1，2 或 1，3 項"加比"，得 k = 1/2

2. 否則，b = -a 且 c= -a，代入得 k = -1

複選題9.
若\displaystyle \frac{b+c}{2a}=\frac{a-c}{2b}=\frac{a-b}{2c}，求\displaystyle \frac{a}{a+b+c}的值？(A)1　(B)-1　(C)\displaystyle \frac{1}{2}　(D)\displaystyle -\frac{1}{2}
[解答]
供大家參考，請大家指教。
\displaystyle \frac{b+c}{2a}=\frac{a-c}{2b}=\frac{a-b}{2c}=k
\displaystyle a=\frac{b+c}{2k},b=\frac{a-c}{2k},c=\frac{a-b}{2k}
\displaystyle \frac{a}{a+b+c}=k
\cases{\displaystyle a+b+c=\frac{a}{k}\cr b+c=2ak}
\displaystyle a+2ak=\frac{a}{k}
2k^2+k-1=
(2k-1)(k+1)=0
\displaystyle k=\frac{1}{2}或k=-1

107全國高中教甄聯招(詳解整理)

最後一題，答案有誤！(極限的計算有誤)
證明請見 Rudin 的高微 P.63~P.64